`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

214 - Exercicis i problemes. § 27.Resolució (c)- Abans de començar amb la resolució d’aquest apartat recordem com calculem la distància d’unelement a un subespai vectorial.- Donat un subespai vectorial F d’un espai euclidià o unitari (E, ⟨·, ·⟩) de dimensió finita n, consideremel seu complementari ortogonal F ⊥ . Aleshores, com que E = F ⊕ F ⊥ , per a tot w ∈ Eexisteixen uns únics elements P F (w) ∈ F i C F (w) ∈ F ⊥ tals que:w = P F (w) + C F (w)i, com que són ortogonals, podem aplicar el teorema de Pitàgores i concloure que:∥w∥ 2 = ∥P F (w)∥ 2 + ∥C F (w)∥ 2 .L’element P F (w) ∈ F es diu que és la projecció ortogonal de w sobre F i es caracteritza perser l’element de F més proper a w (és a dir, és l’aproximació òptima de w per combinacionslineals d’elements de F ). L’element C F (w) ∈ F ⊥ és la component ortogonal i la seva norma ensdetermina la distància de w al subespai F . Per tant:d(w, F ) = ∥C F (w)∥ = ∥w − P F (w)∥.- D’aquesta manera, si tenim E = F 1 ⊕ F 2 amb F 1 i F 2 ortogonals aleshores, per a tot w ∈ E esté que existeixen uns únics elements w 1 ∈ F 1 i w 2 ∈ F 2 tals que:Aquests elements verifiquen:w = w 1 + w 2 .∥w∥ 2 = ∥w 1 ∥ 2 + ∥w 2 ∥ 2i ens permeten calcular les distàncies del vector w als subespais F 1 i F 2 ja que:d(w, F 1 ) = ∥w 2 ∥ = ∥w − w 1 ∥,d(w, F 2 ) = ∥w 1 ∥ = ∥w − w 2 ∥,d(w, F 1 ) 2 + d(w, F 2 ) 2 = ∥w∥ 2 .- Un cop recordats aquests resultats, anem a aplicar-los en la resolució d’aquest apartat.- Primer anem a veure que w = (1, 2, −3) i f(w) estan a la mateixa distància del subespai F 2 .- En els dos apartats anteriors hem vist que els subespais F 1 i F 2 són subespais complementarisortogonals, que F 1 = ⟨u 1 ⟩ R = ⟨v 1 ⟩ R , que F 2 = ⟨u 2 , u 3 ⟩ R = ⟨v 2 , v 3 ⟩ R , que el conjunt de vectorsB v = {v 1 , v 2 , v 3 } és una base ortonormal de R 3 , i que si (a, b, c) és un element arbitrari de R 3aleshores:( a − c(a, b, c) = √ , b, a + c )√ = a √ − c v 1 + bv 2 + a √ + c v 3 .2 2 2 2Per tant, pel resum teòric que hem fet podem concloure que:∥ d((a, b, c), F 2 ) =a − c ∥∥∥ |a − c|∥ √ v 1 = √ .2 2B v