`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

80 - Exercicis i problemes. § 10.- 10.Sigui f un endomorfsme d’un espai vectorial E de dimensió finita n. Demostreu que:(a) Si n és senar, o si n és parell i rang f ≠ n/2, aleshores segur que Ker f ≠ Im f.(b) Si n = 2 aleshores, o bé Ker f = Im f o bé Ker f ∩ Im f = {0}.(c) Si n = 3 aleshores, o bé Ker f Im f o bé Im f Ker f o bé Ker f ∩ Im f = {0}.(d) Per a tot n es té que, E = Ker f ⊕ Im f ⇔ E = Ker f + Im f ⇔ Ker f ∩ Im f = {0}.Solució—Resolució- A teoria hem vist el següent resultat que ens relaciona les dimensions del nucli i de la imatged’una aplicació lineal:- Proposició. Sigui f : E 1 → E 2 una aplicació K-lineal entre dos K-espais vectorials dedimensió finita. Aleshores, dim Ker f + dim Im f = dim E 1 .- Per resoldre aquest problema aplicarem aquest resultat en el cas en què l’aplicació lineal f siguiun endomorfisme.Resolució (a)- Com que f és un K-endomorfisme d’un K-espai vectorial E de dimensió finita dim E = naleshores, per la proposició, es té que dim Ker f + dim Im f = dim E = n.- Primer anem a demostrar que si n és senar aleshores Ker f ≠ Im f.Suposem que n és senar. Com que dim Ker f +dim Im f = n, en particular la suma de dimensionsdim Ker f + dim Im f és senar i, per tant, un dels dos sumands ha de ser parell i l’altre ha deser senar. Així, si n és senar aleshores els dos subespais tenen dimensions diferents i, per tant,els dos subespais no poden ser iguals de cap manera. Per tant, si n és senar aleshores segur queKer f ≠ Im f, com volíem demostrar.- Ara anem a demostrar que si n és parell i rang f ≠ n/2 aleshores Ker f ≠ Im f.La demostració la farem per reducció a l’absurd. És a dir, veurem que si tenim la igualtat desubespais Ker f = Im f aleshores arribem a una contradicció.