`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

62 - Exercicis i problemes. § 6.per a tot k ≥ 0, on A 0 = Id. Per tant tenim la inclusió F 1 (A) ⊆ F 2 (A), i per la igualtat dedimensió es té també la igualtat de subespais F 1 (A) = F 2 (A).Ara anem a veure que si tenim la igualtat de subespais F 1 (A) = F 2 (A) aleshores la matriu A no ésuna matriu escalar. Ho demostrarem per reducció a l’absurd. Suposem, per a una contradicció,que A és una matriu escalar. Aleshores, per l’apartat (a) el subespai F 1 (A) té dimensió 1 i perl’apartat (b) el subespai F 2 (A) té dimensió 4. Però això entra en contradicció amb la nostrahipòtesi inicial, F 1 (A) = F 2 (A), ja que dos subespais vectorials de dimensions diferents no podenser mai iguals. Per tant, hem arribat a contradicció, de manera que A no pot ser una matriuescalar.- Resolució IIUna manera alternativa de procedir és usar el lema per demostrar directament la doble implicació.Observem que, independentment de si la matriu A és una matriu escalar o no, sempre tenim lainclusió de subespais F 1 (A) ⊆ F 2 (A). Per tant:F 1 (A) = F 2 (A) (1)⇐⇒ dim F 1 (A) = dim F 2 (A)(2)⇐⇒ dim F 1 (A) = dim F 2 (A) = 2(3)⇐⇒ A no és escalaron en (1) hem aplicat el lema i en (2) i (3) hem aplicat els apartats (a) i (b).