`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

32 - Exercicis i problemes. § 3.⎞Matricialment aquesta noció es pot caracteritzar de la manera següent: si r = n aleshores, elconjunt {v 1 , . . . , v n } és una base de E si i només si el sistema d’equacions lineals⎛x 1⎞ ⎛µ 1x n µ n⎜A ⎝.⎟ ⎜⎠ = ⎝.⎟⎠és un sistema compatible determinat per a tot µ 1 , . . . , µ n ∈ K. (Observis que la relació quehi ha entre les dues caracteritzacions de base és la següent: u = (µ 1 , . . . , µ n ) B i λ i = x i pera 1 ≤ i ≤ n).Per tant es té que si r = n aleshores, el conjunt {v 1 , . . . , v n } és una base de E si i només si lamatriu A té rang n. Observem que en aquest cas A és una matriu quadrada (ja que r = n)i, per tant, podem concloure que el conjunt {v 1 , . . . , v n } és una base de E si i només si lamatriu A té determinant no nul.4. Coordenades.Per definició es té que, si el conjunt {v 1 , . . . , v n } és una base de E i si u ∈ E és un elementarbitrari aleshores, u té coordenades (λ 1 , . . . , λ n ) en la base {v 1 , . . . , v n } si i només si u =λ 1 v 1 + . . . + λ n v n .⎞Matricialment es té que, si el vector u té coordenades (µ 1 , . . . , µ n ) en la base {e 1 , . . . , e n },aleshores les coordenades de u en la base {v 1 , . . . , v n } són l’única solució del sistema d’equacionslineals:⎛x 1⎞ ⎛µ 1µ n⎜A ⎝ . ⎟ ⎜⎠ = ⎝ . ⎟⎠ .x n- Per acabar amb aquest resum de propietats, anem a fer un parell d’observacions que sovintutilitzarem en la resolució dels problemes.- Observació. Per definició, un conjunt no buit B d’un K-espai vectorial E és una base de l’espaisi i només si el conjunt B és un sistema de generadors linealment independent de E. Per tant,en principi, per demostrar que un conjunt de vectors no buit B és una base de l’espai hem decomprovar aquestes dues propietats. Ara bé, en un K-espai vectorial E de dimensió finita n es potdemostrar que un conjunt {v 1 , . . . , v n } de n vectors és un sistema de generadors de E si i només si{v 1 , . . . , v n } és un conjunt de vectors linealment independents. Per tant, en un K-espai vectorialE de dimensió finita n, per provar que un conjunt B = {v 1 , . . . , v n } de n vectors és una basede l’espai només ens cal provar una de les dues propietats. És a dir, només cal provar o bé que{v 1 , . . . , v n } genera E, o bé que {v 1 , . . . , v n } és un conjunt de vectors linealment independents.- Observació. El conjunt producte cartesià K n = K × . n) . . × K és un K-espai vectorial de dimensiófinita n. La base canònica de K n és B e = {e 1 , . . . , e n } on, per a 1 ≤ i ≤ n, l’elemente i es defineix com e i = (δ 1,i , . . . , δ n,i ) ∈ K n on δ i,i = 1 i δ j,i = 0 si j ≠ i. Observem quesi (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n , aleshores (x 1 , . . . , x n ) = x 1 e 1 + · · · + x n e n . Per tant, les coordenadesde l’element w = (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n en la base canònica de K n són w = (x 1 , . . . , x n ) Be . És adir, tenim la igualtat w = (x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x n ) Be . Aquesta igualtat ens diu que podem“identificar” els punts de K n amb les seves coordenades en la base canònica de K n .