`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 15. Solucions i resolucions comentades - 117calcular-la fent servir el procediment estàndard de “canvi de base” i, d’altra banda, la podríemcalcular directament fent servir la definició de matriu associada a una aplicació lineal. Aquíanem a presentar aquests dos mètodes de resolució.- Mètode I.Tenim l’aplicació lineal f : E 3 → E 2 definida per:f(e 1 ) = v 1 + 2v 2 , f(e 2 ) = v 1 + 3v 2 , f(e 3 ) = v 1 + 4v 2d’on, agafant coordenades en la base B v , podem escriure:f(e 1 ) = (1, 2) Bv , f(e 2 ) = (1, 3) Bv , f(e 3 ) = (1, 4) Bv .Per tant directament tenim la matriu associada a f en les bases B e i B v , que és la matriu:( ) 1 1 1M(f; B e , B v ) =.2 3 4Ara farem servir canvis de base per calcular la matriu associada a l’aplicació lineal f en les basesB u i B w . Concretament per calcular aquesta matriu n’hi ha prou amb multiplicar a banda ibanda la matriu M(f; B e , B v ) per la corresponent matriu de canvi de base.- Comentari. Recordeu que si B és una base d’un espai vectorial E de dimensió finita aleshoresla matriu associada a l’aplicació identitat Id E : E → E en la base B de E és la matriuidentitat, és a dir M(Id E ; B) = Id n . Ara bé, si tenim dues bases B 1 i B 2 de l’espai vectorialE aleshores, la matriu de l’aplicació identitat Id E en aquestes bases és la matriu de canvi debase. És a dir M(Id E ; B 1 , B 2 ) = M(B 1 → B 2 ) és la matriu que transforma les coordenadesd’un vector w de E en la base B 1 en les coordenades del vector w en la base B 2 .Per tant, en el nostre cas, la matriu M(f; B u , B w ) associada a l’aplicació lineal f en les basesB u i B w la calcularem fent:M(f; B u , B w ) = M(B v → B w ) · M(f; B e , B v ) · M(B u → B e )igualtat que es pot escriure amb el següent diagrama commutatiu:(E 3 , B u )fM(f;B u ,B w ) (E 2 , B w )Id E3 M(B u→B e)Id E2 M(B v→B w)(E 3 , B e )fM(f;B e ,B v ) (E 2 , B v )on cada element d’aquest diagrama commutatiu és:(E 3 , B e ) és l’espai vectorial E 3 amb la base B e .