`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

More documents

Recommendations

Info

$Some fractional functional inequalities - UPC$

152 - <strong>Exercicis</strong> i <strong>problemes</strong>. § 20.Un cop recordat això anem a determinar els vectors propis de valor λ = −1. Aquests vectorssón els elements no nuls del subespai Ker(A + Id). Per tant, la matriu que estem considerant ésA + Id =⎛⎝ −1 0 14 3 −11 0 −1Observem que la suma de la primera i tercera columnes ens dóna la segona columna, de maneraque el nucli d’aquesta matriu és Ker(A + Id) = ⟨(1, −1, 1)⟩.Tot i que en aquesta resolució hem determinat el nucli Ker(A−λ Id) “a vista”, la manera generalper trobar-ne els generadors és resoldre el sistema homogeni de matriu associada A − λ Id, és adir el sistema homogeni (A − λ Id)x = 0. Abans de continuar calculant una base {v 1 , v 2 , v 3 } devectors propis de la matriu A, anem a fer un comentari relatiu a la solució dels sistemes linealshomogenis 20 .⎞⎠ .- Comentari. Els vectors propis de la matriu A de valor propi λ = −1 els determinem solucionantel sistema d’equacions⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−1 0 1 x 0⎝ 4 3 −1 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠1 0 −1 z 0és a dir el sistema lineal homogeni⎧⎨⎩−x +z = 04x +3y −z = 0x −z = 0La matriu d’aquest sistema homogeni té rang 2 i, per tant, podem escriure les solucions enfunció d’un paràmetre (ja que el sistema té un grau de llibertat). És a dir, podem donar lessolucions de la forma x ≡ x(ξ), y ≡ y(ξ) i z ≡ z(ξ) on ξ ∈ R és un paràmetre real. En aquestcomentari anem a analitzar una mica més aquesta frase, concretament anem a veure què podemagafar com a paràmetre 21 . En general, si Ax = 0 és un sistema homogeni de n equacions i nincògnites x 1 , . . . , x n , i si notem per C 1 (A), . . . , C n (A) les n columnes de la matriu A, aleshoreses té que, les solucions del sistema Ax = 0 es poden escriure de manera lineal en funció de lesvariables x i1 , . . . , x ir (és a dir, podem escriure x i ≡ x i (x i1 , . . . , x ir ) per a 1 ≤ i ≤ n) si i només sirang(A) = rang(C i1 (A), . . . , C ir (A)) = r. En el nostre cas, per tant, únicament hem d’observarque com que la matriu del sistema té rang 2 aleshores podem afirmar que qualsevol menor de rang2 ens permet escriure les seves dues incògnites associades com a variables i la resta d’incògnites(en aquest cas una) com a paràmetres (en aquest cas un). Dit d’una altra manera, com que perexemple el menor( ) −1 04 3és un menor de rang 2, aleshores sí que podem fer servir la variable z com a paràmetre ξ i,per tant, podem donar la solució del sistema de la forma x ≡ x(z) i y ≡ y(z). En efecte,resolem el sistema d’equacions i obtenim x = z i 3y = z − 4x = −3z, d’on y = −z i, per tant,20 Aquest és, per tant, un comentari més propi del tema de resolució de sistemes d’equacions lineals que del temade diagonalització.21 Una generalització al cas no lineal és el teorema de la funció implícita.
§ 20. Solucions i resolucions comentades - 153Ker(A + Id) = {(z, −z, z) ∈ K 3 : z ∈ K} = ⟨(1, −1, 1)⟩. Anàlogament, com que per exemple elmenor ( −1 1)4 −1és un menor de rang 2, aleshores també podem fer servir la variable y com a paràmetre ξ i, pertant, podem donar la solució del sistema de la forma x ≡ x(y) i z ≡ z(y). De la mateixa manera,com que per exemple el menor ( 0) 13 −1és un menor de rang 2, aleshores també podem fer servir la variable x com a paràmetre ξ i, pertant, podem donar la solució del sistema de la forma y ≡ y(x) i z ≡ z(x) 22 .- Vectors propis de la matriu A de valor propi −3 i de valor propi 2.Continuem calculant una base {v 1 , v 2 , v 3 } de vectors propis de la matriu A. Recordem que demoment hem calculat els vectors propis de valor propi λ = −1. Per tant, ara hem de calcular elsvectors propis de valor propi λ = −3 i els vectors propis de valor propi λ = 2.Anem a calcular els vectors propis de valor propi λ = −3. Aquest vectors són els elements nonuls de Ker(A + 3 Id). La matriu de la qual hem de calcular el nucli és la matriuA + 3 Id =⎛⎝ 1 0 14 5 −11 0 1En aquest cas, la suma de les dues darreres columnes de la matriu ens dóna com a resultat laprimera columna, de manera que tenim Ker(A + 3 Id) = ⟨(−1, 1, 1)⟩.Finalment, anem a calcular els vectors propis de valor propi λ = 2. En aquest cas la matriu dela qual hem de calcular el nucli ésA − 2 Id =⎛⎝ −4 4 0 0 1−1⎞⎠ .1 0 −4Atès que aquesta matriu té una columna de zeros, el seu nucli es determina de manera immediata,obtenint Ker(A − 2 Id) = ⟨(0, 1, 0)⟩.⎞⎠ .- Comentari. Seguint amb la idea del comentari anterior, els vectors propis de valor propi λ = 2els determinem solucionant el sistema d’equacions⎛⎝ −4 0 1 ⎞ ⎛4 0 −1 ⎠ ⎝ x ⎞ ⎛y ⎠ = ⎝ 0 ⎞0 ⎠ .1 0 −4 z 022 No sempre podem fer servir totes les variables com a paràmetres. En el proper comentari veurem un exempleen aquesta situació. Aquesta situació l’analitzarem de nou en la pàgina 158. A més, en la pàgina 163 veurem uncas on farem servir dos paràmetres.
Page 1:
ÀLGEBRA LINEALExercicis i probleme
Page 5:
Exercicis i problemes. Enunciats
Page 8 and 9:
6 - Exercicis i problemes.(c) En R
Page 10 and 11:
8 - Exercicis i problemes.(a) Demos
Page 12 and 13:
10 - Exercicis i problemes.(a) Dete
Page 15 and 16:
§ 1. Solucions i resolucions comen
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
§ 10. Solucions i resolucions come
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104: § 13. Solucions i resolucions come
Page 153: § 20. Solucions i resolucions come
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217:
show all

`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?