`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 15. Solucions i resolucions comentades - 119Per definició, la matriu M(f; B u , B w ) associada a l’aplicació lineal f en la bases B u = {u 1 , u 2 , u 3 }de E 3 i B w = {w 1 , w 2 } de E 2 és la matriu que té per “columnes” les coordenades dels vectorsf(u 1 ), f(u 2 ), f(u 3 ) en la base B w . És a dir,⎛⎞“M(f; B u , B w ) = f(u 1 ) f(u 2 ) f(u 3 ) ⎠ ”⎝ ↑ ↑ ↑↓ ↓ ↓on en la i-èsima columna hi escrivim les coordenades del vector f(u i ) en la base B w = {w 1 , w 2 }.Així, en el nostre cas, no hem de fer res per calcular les dues primeres columnes d’aquesta matriuja que, per definició, tenim:w 1 = f(u 1 ) , w 2 = f(u 2 )i, per tant, es té que:f(u 1 ) = w 1 = (1, 0) Bwf(u 2 ) = w 2 = (0, 1) BwAra, per acabar, ens falta calcular la tercera columna d’aquesta matriu, és a dir, ens falta calcularles coordenades de f(u 3 ) en la base B w . En aquest cas el càlcul també és senzill ja que com queper definicióu 3 = e 1 − 2e 2 + e 3aleshores, fent servir la definició i la linealitat de f tindrem que:f(u 3 ) = f(e 1 − 2e 2 + e 3 )= f(e 1 ) − 2f(e 2 ) + f(e 3 )i, per tant, si agafem coordenades tindrem:= (v 1 + 2v 2 ) − 2(v 1 + 3v 2 ) + (v 1 + 4v 2 ) = 0f(u 3 ) = 0 = (0, 0) Bw .D’aquesta manera tenim directament la matriu associada a l’aplicació lineal f en les bases B ude E 3 i B w de E 2 :⎛M(f; B u , B w ) = “ ⎝ ↑ ↑ ↑ ⎞( )f(u 1 ) f(u 2 ) f(u 3 ) ⎠ 1 0 0” = .0 1 0↓ ↓ ↓