`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 16. Solucions i resolucions comentades - 125La demostració d’aquest resultat és senzilla. Per fer-la únicament hem de tenir present la definicióde coordenades i “com funciona” l’espai quocient. En efecte, si els escalars λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 són lescoordenades de (a, b, c, d) en la base B, aleshores:(a, b, c, d) = λ 1 (0, 0, 1, 0) + λ 2 (0, 0, 0, 1) + λ 3 (1, −1, 0, 0) + λ 4 (0, −1, 1, 1)i per tant, en l’espai quocient R 4 /F tindrem la igualtat:[(a, b, c, d)] = [λ 1 (0, 0, 1, 0) + λ 2 (0, 0, 0, 1) + λ 3 (1, −1, 0, 0) + λ 4 (0, −1, 1, 1)]= λ 1 [(0, 0, 1, 0)] + λ 2 [(0, 0, 0, 1)] + λ 3 [(1, −1, 0, 0)] + λ 4 [(0, −1, 1, 1)]= λ 1 [(0, 0, 1, 0)] + λ 2 [(0, 0, 0, 1)]d’on podem concloure que els escalars λ 1 , λ 2 són les coordenades de [(a, b, c, d)] en la base B.- Per tant, per determinar les coordenades de la classe [(a, b, c, d)] en la base B de R 4 /F n’hiha prou amb calcular les coordenades del vector (a, b, c, d) en la base B de R 4 , coordenadesque podem obtenir solucionant el sistema d’equacions lineals compatible i determinat de matriuampliada:⎛⎜⎝0 0 1 0 a0 0 −1 −1 b1 0 0 1 c0 1 0 1 d- Fent servir això, anem a calcular les coordenades de [(0, 1, 0, 1)] i de [(−1, 0, 1, −1)] en la base B.Per calcular les coordenades de [(0, 1, 0, 1)] en la base B n’hi ha prou amb resoldre el sistemad’equacions lineals compatible i determinat de matriu ampliada:⎛⎞0 0 1 0 0⎜ 0 0 −1 −1 1⎟⎝ 1 0 0 1 0 ⎠ .0 1 0 1 1És fàcil veure que la solució d’aquest sistema d’equacions lineals és λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 0 iλ 4 = −1. Per tant, les coordenades del vector (0, 1, 0, 1) en la base B són:(0, 1, 0, 1) = (1, 2, 0, −1) B⎞⎟⎠ .i, d’aquí tindrem que les coordenades de la classe [(0, 1, 0, 1)] en la base B són[(0, 1, 0, 1)] = (1, 2) B .Anàlogament, per calcular les coordenades de [(−1, 0, 1, −1)] en la base B ara n’hi ha prou ambresoldre el sistema d’equacions lineals compatible i determinat de matriu ampliada:⎛⎞0 0 1 0 −1⎜ 0 0 −1 −1 0⎟⎝ 1 0 0 1 1 ⎠ .0 1 0 1 −1Aquest sistema d’equacions té solució λ 1 = 0, λ 2 = −2, λ 3 = −1 i λ 4 = 1. Així, les coordenadesdel vector (−1, 0, 1, −1) en la base B són:(−1, 0, 1, −1) = (0, −2, −1, 1) B