`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

16 - Exercicis i problemes. § 1.aleshores el determinant de B es pot calcular com:det(B) =∣ 2 11 2∣ = 2 · 2 − 1 · 1 = 4 − 1 = 3.Com que det(B) = 3 ≠ 0, el sistema és compatible determinat i, per tant, té una única solució.És a dir, existeix un únic valor per a a i un únic valor per a b de manera que els dos sistemesd’equacions lineals tenen solució comuna.- Per determinar aquests valors aplicarem el mateix procediment que abans: invertirem la matriud’aquest nou sistema i la multiplicarem pel vector de termes independents per trobar la solució.De manera anàloga a com hem fet abans, la inversa de B és:de manera que ens queda:B −1 = 1 3B −1 =1det(B)( 2 −1−1 2( )b22 −b 12−b 21 b 11)=( 2/3 −1/3−1/3 2/3Ara multipliquem aquesta matriu pel vector de termes independents i obtindrem els valors de ai de b que buscàvem:( ( ) ( ) ( ) ( )a 2/3 −1/3 −6 −4 − 2 −6=== .b)−1/3 2/3 6 2 + 4 6- Per tant, per a a = −6 i b = 6, els dos sistemes donats en l’enunciat tenen solució comuna.).- Comentari. Tot i que no ens ho demanen a l’enunciat, no està de més calcular aquesta solucióexplícitament i comprovar que, en efecte, és solució d’ambdós sistemes. La solució general delprimer sistema, que hem calculat prèviament, és (x, y) = (a + b + 2, −a − b + 1). Posant a = −6i b = 6, la solució és (x, y) = (2, 1). Comprovem que (x, y) = (2, 1) és solució també del segonsistema avaluant-la en les equacions:{ (−6) · 2 + 6 · 1 = (−6) 2 − 6 2 − 66 · 2 + (−6) · 1 = 6 2 − (−6) 2 + 6Desenvolupant, ens queda: { −12 + 6 = 36 − 36 − 612 − 6 = 36 − 36 + 6i simplificant es tenen les identitats següents:{ −6 = −66 = 6Per tant es té, en efecte, una solució d’ambdós sistemes (que, a més, sabem que és (x, y) = (2, 1)).