`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

190 - Exercicis i problemes. § 23.- Atès que R 4 és un R-espai vectorial de dimensió finita, podem aplicar el teorema de diagonalització(veure pàgina 148) i tenim que l’endomorfisme f és diagonalitzable si i només si elseu polinomi característic descompon en factors lineals en l’anell de polinomis R[x] i, a més, lamultiplicitat algebraica dels valors propis de f coincideix amb la seva multiplicitat geomètrica 31 .- Hem vist que el polinomi característic de l’endomorfisme f és:p f (x) = (x − 2)(x − 1) 3 .Per tant, el polinomi característic de f descompon en factors lineals en l’anell de polinomis R[x].Ara, pel teorema de diagonalització, ens falta veure si les multiplicitats algebraica i geomètricadels valors propis de f coincideixen o no 32 .- Els valors propis de l’endomorfisme f són λ 1 = 2 i λ 2 = 1, que tenen multiplicitats algebraiques1 per al valor propi λ 1 = 2, i 3 per al valor propi λ 2 = 1. Així només ens falta calcular les sevesmultiplicitats geomètriques i veure si coincideixen o no amb les algebraiques. En altres paraules,hem de veure si es compleixen les igualtats:dim Ker(f − 2 Id) = 1,dim Ker(f − Id) = 3.- Anem a veure que es té la primera igualtat però que no es té la segona. Si demostrem aixòaleshores podrem concloure que l’endomorfisme f no és diagonalitzable.- Recordem que a teoria hem vist que, per a tot valor propi λ de l’endomorfisme f, es compleixla següent desigualtat que ens relaciona la multiplicitat algebraica n λ del valor propi λ i la sevamultiplicitat geomètrica dim Ker(f − λ Id):1 ≤ dim Ker(f − λ Id) ≤ n λ .- Per tant, per al valor propi λ = 2 tenim 1 ≤ dim Ker(f − 2 Id) ≤ n λ = 1 d’on es dedueix quedim Ker(f − 2 Id) = 1, i per tant les multiplicitats algebraica i geomètrica del valor propi λ = 2coincideixen.- Analitzem ara si la igualtat entre les multiplicitats també es compleix per al valor propi λ = 1.En principi per a aquest valor propi tenim la desigultat 1 ≤ dim Ker(f − Id) ≤ n λ = 3 que, enaquest cas, no ens determina la dimensió. Així hem de calcular dim Ker(f − Id) directament.Per a això, tenint en compte quedim Ker(f − Id) = 4 − rang M(f − Id; B e ),n’hi ha prou que calculem el rang de la matriu associada a l’endomorfisme f − Id en la basecanònica B e de R 4 . Aquesta matriu és:31 Recordem que la idea intuïtiva del teorema de diagonalització és la següent. Per diagonalitzar un endomorfismed’un espai vectorial de dimensió finita n volem exactament n valors propis comptats amb multiplicitats (que són elsque ens donen la forma diagonal de l’endomorfisme) i, a més, volem exactament n vectors propis (que ens determinenuna base en la qual tindrem la forma diagonal). La primera condició és la descomposició en factors lineals delpolinomi característic de l’endomorfisme. La segona condició és la igualtat entre les multiplicitats algebraiques igeomètriques dels valors propis de l’endomorfisme.32 En aquest cas, i de manera intuïtiva, tenim un endomorfisme f de R 4 (espai vectorial de dimensió finita n = 4),i de moment sabem que tenim 4 valors propis: 2, 1, 1, 1. Per tant, perquè f sigui un endomorfisme diagonalitzableens calen 4 vectors propis que formin la base: un vector per al valor propi 2 i tres vectors per al valor propi 1.