`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

122 - Exercicis i problemes. § 16.˜f(λ 1 [v 1 ] + λ 2 [v 2 ]) (1)= ˜f([λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ]) (2)= [f(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 )](3)= [λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 )] (4)= λ 1 [f(v 1 )] + λ 2 [f(v 2 )](5)= λ 1 ˜f([v1 ]) + λ 2 ˜f([v2 ])on en les igualtats (1) i (4) hem usat la definició de les operacions en l’espai quocient, mentreque en les igualtats (2) i (5) hem usat la definició de ˜f, i en la igualtat (3) hem fet servir lalinealitat de l’aplicació f. Per tant tenim:com volíem demostrar.˜f(λ 1 [v 1 ] + λ 2 [v 2 ]) = λ 1 ˜f([v1 ]) + λ 2 ˜f([v2 ])Resolució (b)- Primer de tot observem que com que el subespai F té dimensió 2, aleshores l’espai quocientR 4 /F té dimensió dim R 4 /F = dim R 4 − dim F = 4 − 2 = 2. Per tant, té sentit preguntar-se siun conjunt format per dos vectors és o no és una base d’aquest espai vectorial.- Anem a demostrar que {[(0, 0, 1, 0)], [(0, 0, 0, 1)]} és una base de R 4 /F .Com que {[(0, 0, 1, 0)], [(0, 0, 0, 1)]} és un conjunt de dos vectors d’un espai vectorial de dimensiódos, per veure que aquest conjunt és una base de l’espai n’hi ha prou amb demostrar que és unconjunt de vectors linealment independents en R 4 /F . És a dir hem de veure que λ = µ = 0 ésl’única solució de l’equació:λ[(0, 0, 1, 0)] + µ[(0, 0, 0, 1)] = [(0, 0, 0, 0)].Observem que, per la definició de les operacions en l’espai quocient tenim:λ[(0, 0, 1, 0)] + µ[(0, 0, 0, 1)] = [λ(0, 0, 1, 0) + µ(0, 0, 0, 1)] = [(0, 0, λ, µ)].Per tant, hem de veure que λ = µ = 0 són els únics escalars verificant l’equació:Anem a veure-ho.[(0, 0, λ, µ)] = [(0, 0, 0, 0)].D’una banda, per definició de l’espai quocient, es té que:[(0, 0, λ, µ)] = [(0, 0, 0, 0)] ⇔ (0, 0, λ, µ) ∈ Fi, d’altra banda, com que F = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y + z = z − t = 0}, aleshores:(0, 0, λ, µ) ∈ F ⇔ λ = λ − µ = 0.