`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 3. Solucions i resolucions comentades - 41Aleshores, multiplicant per M −1 en l’equació matricial anterior tenim:( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ2= M −1 b2 −1 b2b − c − a + d==λ 4 c + a − d −3 2 c + a − d −3b + 2c + 2a − 2dd’on λ 2 = 2b − c − a + d i λ 4 = −3b + 2c + 2a − 2d.Amb això hem vist que l’única solució λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 del sistema de quatre equacions i quatreincògnites que teníem és: ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩λ 1 = dλ 2 = 2b − c − a + dλ 3 = a − dλ 4 = −3b + 2c + 2a − 2dPer tant podem concloure que el conjunt B és una base de R 4 i que les coordenades del vectorgenèric v = (a, b, c, d) en la base B són:v = (λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 ) B= (d, −a + 2b − c + d, a − d, 2a − 3b + 2c − 2d) B= du 1 + (−a + 2b − c + d)u 2 + (a − d)u 3 + (2a − 3b + 2c − 2d)u 4 .Per últim, per tal de calcular les coordenades del vector w = (1, 5, 10, 2) en la base B, simplementposem a = 1, b = 5, c = 10 i d = 2 en l’expressió anterior, i tenimw = (2, 1, −1, 3) B= 2u 1 + u 2 − u 3 + 3u 4 .- Resolució IIEn aquesta segona resolució atacarem el problema d’una manera més directa.En resoldre aquest apartat identificarem els punts de R 4 amb les seves coordenades en la basecanònica B e = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } on e 1 = (1, 0, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0), e 3 = (0, 0, 1, 0) i e 4 = (0, 0, 0, 1).És a dir, farem servir que la igualtat (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) Be (igualtat que hem justificaten la pàgina 32).Primer anem a demostrar que el conjunt de quatre vectors B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } és una base deR 4 , on u 1 = (1, 0, 0, 1), u 2 = (0, 2, 3, 0), u 3 = (1, 0, −1, 0), u 4 = (0, 1, 2, 0). Per a això n’hi ha prouamb veure que la matriu que aquests vectors determinen té rang màxim, (veure la caracteritzacióde base de la pàgina 32).En aquest cas la matriu A dels “vectors” u 1 , u 2 , u 3 , u 4 escrits en “columna” (veure pàgina 31) ésla matriu:⎛⎞⎛⎞ 1 0 1 0↑ ↑ ↑ ↑A = ⎝u 1 u 2 u 3 u 4⎠ = ⎜ 0 2 0 1⎟⎝ 0 3 −1 2 ⎠ .↓ ↓ ↓ ↓1 0 0 0Aquesta matriu té determinant:⎛det(A) = (−1) det⎝ 0 1 02 0 13 −1 2⎞⎠ = (−1) · (−1) det( 2 13 2)= 4 − 3 = 1.