`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 11. Solucions i resolucions comentades - 85les quals podem escriure de manera equivalent com:{ z = x + yx = tpodem, usant aquestes relacions, escriure un vector v ∈ F de la següent manera:v = (x, y, z, t) = (t, y, t + y, t) = y(0, 1, 1, 0) + t(1, 0, 1, 1)de manera que F = ⟨(0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1)⟩, i aquests dos vectors formen una base de F per serdos vectors generadors d’un subespai de dimensió 2.- Segon pas- Passem ara a calcular la dimensió i una base del subespai f(F ), el subespai imatge del subespaiF per l’aplicació lineal f.- Per definició es té:f(F ) = { u ∈ R 4 : existeix v ∈ F amb f(v) = u } = {f(v): v ∈ F } .- Observem, però, que com que tenim F = ⟨(0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1)⟩ aleshores, per calcular el subespaiimatge f(F ) n’hi ha prou amb calcular la imatge dels vectors que generen F , ja que tot vectordel subespai es pot escriure com combinació lineal dels generadors del subespai i la linealitat del’aplicació f ens permet afirmar que aquesta combinació lineal es conserva a nivell de les imatges.És a dir, podem calcular la imatge de qualsevol vector del subespai en funció de les imatges delsgeneradors del subespai.Més formalment, si denotem v 1 = (0, 1, 1, 0) i v 2 = (1, 0, 1, 1), podem escriure tot vector v ∈ Fcom v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 , i podem calcular f(v) de la següent manera:f(v) = f(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) (1)= f(λ 1 v 1 ) + f(λ 2 v 2 ) (2)= λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f (v 2 )on en (1) hem usat la primera propietat de linealitat de f (és a dir fem servir que f(w 1 + w 2 ) =f(w 1 ) + f(w 2 )), i en (2) hem usat la segona propietat de linealitat de f (és a dir fem servir quef(µw) = µf(w)). Així, si F = ⟨v 1 , v 2 ⟩, aleshores es té que f(F ) = ⟨f(v 1 ), f(v 2 )⟩.- Per tant, com acabem de veure, n’hi ha prou amb calcular les imatges dels generadors del subespaiF i ja tindrem els generadors de f(F ).Calculant, es té:f(0, 1, 1, 0) = (0 − 1, 1 + 1 − 0, 0 + 1 − 0, 0 − 1 − 2 · 1 + 0) = (−1, 2, 1, −3)f(1, 0, 1, 1) = (1 − 1, 0 + 1 − 1, 1 + 0 − 1, 1 − 0 − 2 · 1 + 1) = (0, 0, 0, 0)Per tant f(F ) = ⟨(−1, 2, 1, −3), (0, 0, 0, 0)⟩ = ⟨(−1, 2, 1, −3)⟩ està generat per un sol vector nonul. Així f(F ) té dimensió 1 i a més {(−1, 2, 1, −3)} és una base de f(F ).- Observació. En general, donada una aplicació lineal h: E 1 → E 2 , la imatge d’un subespaivectorial està generada per les imatges dels generadors del subespai, per tant, la imatge d’unsistema de generadors d’un subespai G de E 1 és un sistema de generadors del subespai imatgeh(G), és a dir h(⟨w 1 , . . . , w r ⟩) = ⟨h(w 1 ), . . . , h(w r )⟩. Notem, tanmateix, que és possible que elsvectors imatge no siguin linealment independents i, per tant, poden no determinar una base del