`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 9. Solucions i resolucions comentades - 73- 9.Sigui f : R 2 → R 3 l’aplicació lineal definida per f(x, y) = (x + α 2 y, x + y, x + αy). Per a quinsvalors de α ∈ R es té que Ker f = ⟨(1, −1)⟩? Quan Im f = {(x, y, z) ∈ R 3 : x − y = 0}?SolucióPer a α = 1. Per a α = −1.Resolució- Abans de passar a la resolució d’aquest problema anem a fer uns breus comentaris relatius a lesdiferents maneres de donar una aplicació lineal: de manera explícita, per l’acció sobre una base,i de manera matricial. Aquests comentaris no són necessàris per a la resolució d’aquest exercici,però sí que són importants per a una bona comprensió del tema d’aplicacions lineals.- Comentari 1. Sigui h : E 1 → E 2 una aplicació K-lineal entre dos K-espais vectorials E 1 iE 2 . Es diu que l’aplicació lineal h està definida de manera explícita si ens donen l’acció de hsobre un element genèric v de l’espai vectorial E 1 . Per exemple, l’aplicació lineal f : R 2 → R 3d’aquest exercici la tenim donada de forma explícita ja que ens donen l’acció de f sobre unelement genèric (x, y) de R 2 , acció que en aquest cas és f(x, y) = (x + α 2 y, x + y, x + αy).- Comentari 2. Recordeu, però, que de la linealitat es dedueix que qualsevol aplicació linealqueda unívocament determinada per la seva acció sobre els elements d’una base. Per tant,únicament ens cal conèixer el valor de h sobre els elements d’una base de l’espai E 1 . És a dir,si coneixem {h(v i )} i on {v i } i és una base de E 1 , aleshores podem determinar el valor de h(v)per a tot v ∈ E 1 . Per exemple, l’aplicació lineal f d’aquest exercici ens queda determinadapel valor de f(1, 0) i de f(0, 1), que són f(1, 0) = (1, 1, 1) i f(0, 1) = (α 2 , 1, α), ja queper a un element arbitrari (x, y) de R 2 , com que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), aleshores de lalinealitat de l’aplicació f tindrem que f(x, y) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = x(1, 1, 1) + y(α 2 , 1, α) =(x + α 2 y, x + y, x + αy).- Comentari 3. Ara recordeu que els elements d’un espai vectorial queden unívocament determinatsper les seves coordenades en una base. Per tant, l’element h(v i ) està unívocamentdeterminat per les coordenades que té en una base {w j } j de l’espai vectorial E 2 . Així, siels espais E 1 i E 2 són de dimensió finita n i m respectivament, i si B 1 = {v 1 , . . . , v n } ésuna base de E 1 i si B 2 = {w 1 , . . . , w m } és una base de E 2 , aleshores l’aplicació lineal h latindrem unívocament determinada si coneixem les coordenades dels vectors h(v 1 ), . . . , h(v n )en la base {w 1 , . . . , w m } de E 2 . Per tant, l’aplicació lineal h està unívocament determinadaper la matriu que “té per columnes les coordenades d’aquests vectors”. Direm que aquesta