`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

More documents

Recommendations

Info

$Some fractional functional inequalities - UPC$

114 - <strong>Exercicis</strong> i <strong>problemes</strong>. § 14.o bé el següent resultat de teoria de conjunts:Si h 1 : X 1 → X 2 i h 2 : X 2 → X 3 són dues aplicacions tals que la composició h 2 ◦ h 1 ésexhaustiva, aleshores l’aplicació h 2 és exhaustiva. Mentre que si la composició h 2 ◦ h 1 ésinjectiva, aleshores l’aplicació h 1 és injectiva.Deixem com a exercici al lector demostrar aquests dos resultats i aplicar-los per justificar que lacomposició f 2 ◦ f 1 no és ni injectiva ni exhaustiva.
§ 15. Solucions i resolucions comentades - 115- 15.Siguin E 3 i E 2 dos espais vectorials reals de dimensions 3 i 2 respectivament. Sigui {e 1 , e 2 , e 3 }una base de E 3 , sigui {v 1 , v 2 } una base de E 2 , i sigui f : E 3 → E 2 l’aplicació lineal definida perf(e 1 ) = v 1 + 2v 2 , f(e 2 ) = v 1 + 3v 2 , f(e 3 ) = v 1 + 4v 2 . Comproveu que els vectors u 1 = e 1 + e 2 ,u 2 = e 2 + e 3 , u 3 = e 1 − 2e 2 + e 3 , determinen una base de E 3 , i que els vectors w 1 = f(u 1 ),w 2 = f(u 2 ) determinen una base de E 2 . Doneu la matriu associada a f en aquestes bases.Solució—. La matriu associada és( 1 0 00 1 0).Resolució- Denotarem per B e , B u , B v i B w els següents conjunts de vectors:B e = {e 1 , e 2 , e 3 } , B u = {u 1 , u 2 , u 3 } , B v = {v 1 , v 2 } , B w = {w 1 , w 2 }.- Per hipòtesi sabem que el conjunt B e és una base de l’espai vectorial E 3 i que el conjunt B v ésuna base de l’espai vectorial E 2 . Anem a veure que els conjunts B u i B w també són bases.- Primer demostrem que B u és una base de E 3 .Recordem que els vectors u 1 , u 2 , u 3 venen definits per:u 1 = e 1 + e 2 , u 2 = e 2 + e 3 , u 3 = e 1 − 2e 2 + e 3d’on, prenent coordenades en la base B e , tenim:u 1 = (1, 1, 0) Be , u 2 = (0, 1, 1) Be , u 3 = (1, −2, 1) Be .Aleshores, per provar que el conjunt B u = {u 1 , u 2 , u 3 } és una base de E 3 , n’hi ha prou ambprovar que la matriu que té per columnes les coordenades dels vectors u 1 , u 2 , u 3 en la base B e ,és una matriu de rang màxim o, equivalentment, que és una matriu de determinant no nul. Enel nostre cas, per tant, hem de veure que la matriu⎛P = ⎝ ↑ ↑ ↑ ⎞ ⎛u 1 u 2 u 3⎠ = ⎝ 1 0 1 ⎞1 1 −2 ⎠↓ ↓ ↓ 0 1 1té determinant no nul.
Page 1:
ÀLGEBRA LINEALExercicis i probleme
Page 5:
Exercicis i problemes. Enunciats
Page 8 and 9:
6 - Exercicis i problemes.(c) En R
Page 10 and 11:
8 - Exercicis i problemes.(a) Demos
Page 12 and 13:
10 - Exercicis i problemes.(a) Dete
Page 15 and 16:
§ 1. Solucions i resolucions comen
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66: § 7. Solucions i resolucions comen
Page 83 and 84: § 10. Solucions i resolucions come
Page 115: § 14. Solucions i resolucions come
Page 167 and 168:
§ 20. Solucions i resolucions come
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217:
show all

`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?