SERWAY - JEWETT

m/V, donde es la densidad del objeto y V su volumen. De esta ecuación, la masa de
un pequeño elemento es dm dV. Al sustituir este resultado en la ecuación 10.17 se
obtiene
Sección 10.5 Cálculo de momentos de inercia 279
I
rr 2 dV
Si el objeto es homogéneo, es constante y la integral se puede evaluar para una geometría
conocida. Si no es constante, se debe conocer su variación con la posición para
completar la integración.
La densidad conocida por m/V a veces se conoce como densidad de masa volumétrica
porque representa masa por unidad de volumen. Con frecuencia se usan otras formas de
expresar la densidad. Por ejemplo, cuando se trata con una hoja de grosor uniforme t, se
puede definir una densidad de masa superficial t, que representa masa por unidad de
área. Por último, cuando la masa se distribuye a lo largo de una barra de área de sección
transversal uniforme A, a veces se usa la densidad de masas lineal M/L A, que es la
masa por unidad de longitud.
La tabla 10.2 proporciona los momentos de inercia para algunos objetos respecto a
ejes específicos. Los momentos de inercia de objetos rígidos con geometría simple (gran
simetría) son relativamente fáciles de calcular siempre que el eje de rotación coincida con
un eje de simetría, como en los ejemplos siguientes.
Pregunta rápida 10.4 Una sección de tubería hueca y un cilindro sólido tienen los
mismos radio, masa y longitud. Ambos dan vueltas en torno a su largo eje central con
la misma rapidez angular. ¿Cuál objeto tiene la mayor energía cinética rotacional? a) La
tubería hueca. b) El cilindro sólido. c) Tienen la misma energía cinética rotacional. d) Es
imposible de determinar.
EJEMPLO 10.4
Barra rígida uniforme
Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa M
(figura 10.9) en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa a través
de su centro de masa.
y
y
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine que con sus dedos hace girar la barra de la figura 10.9 en
torno a su punto medio. Si tiene una regleta a la mano, úsela para simular el giro de
una barra delgada.
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución, que usa la definición de
momento de inercia en la ecuación 10.17. Como con cualquier problema de cálculo,
la solución supone reducir el integrando a una sola variable.
El elemento de longitud sombreado dx en la figura 10.9 tiene una masa dm igual a
la masa por unidad de longitud multiplicada por dx.
O
L
x
dx
Figura 10.9 (Ejemplo 10.4) Barra
rígida uniforme de longitud L. El
momento de inercia en torno al eje y
es menor que en el eje y. Este último
eje se examina en el ejemplo 10.6.
x
Exprese dm en términos de dx: dm ldx
M
L dx
Sustituya esta expresión en la ecuación 10.17 con r 2 = x 2 : I y r 2 dm
L>2
L>2
x 2 M L dx
M
L
L>2
L>2
x 2 dx
M
L c x 3
3 d L>2
L>2
1
12ML 2
Compruebe este resultado en la tabla 10.2.