SERWAY - JEWETT

Sección 13.3 Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas 371
Resuelva la ecuación 13.8 para la masa del Sol: M S
4p 2 r 3
Sustituya los valores conocidos: M S
4p 2 11.496 10 11 m2 3
GT 2
16.67 10 11 N # m 2 >kg 2 213.156 10 7 s2 2 1.99 10 30 kg
En el ejemplo 13.3, una interpretación de las fuerzas gravitacionales permitió encontrar algo acerca de la densidad del
núcleo de la Tierra, ¡y ahora esta interpretación se usó para determinar la masa del Sol!
EJEMPLO 13.5
Un satélite geosíncrono
Considere un satélite de masa m que se mueve en una órbita circular alrededor de la
Tierra con una rapidez constante v y a una altura h sobre la superficie de la Tierra,
como se muestra en la figura 13.8.
A) Determine la rapidez del satélite en términos de G, h, R T (el radio de la Tierra) y
M T (la masa de la Tierra).
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine que el satélite se mueve alrededor de la Tierra en una
órbita circular bajo la influencia de la fuerza gravitacional.
Categorizar El satélite debe tener una aceleración centrípeta. Debido a eso, el satélite
se clasificó como una partícula bajo una fuerza neta y una partícula en movimiento
circular uniforme.
Analizar La única fuerza externa que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitacional,
que actúa hacia el centro de la Tierra y mantiene al satélite en su órbita circular.
R
T
F g
m
Figura 13.8 (Ejemplo 13.5)
Un satélite de masa m se mueve
alrededor de la Tierra en una
órbita circular de radio r con
rapidez constante v. La única
fuerza que actúa sobre el satélite
es la fuerza gravitacional F S g.
(Dibujo hecho sin escala.)
r
h
v
Aplique la segunda ley de Newton al satélite: F g G M Tm
ma m v2
r 2 r
Resuelva para v y note que la distancia r desde el centro de
la Tierra al satélite es r R T h:
12 v
GM T
r
GM T
h
R T
B) Si el satélite es geosíncrono (es decir, parece permanecer en una posición fija sobre la Tierra), ¿qué tan rápido se mueve
a través del espacio?
SOLUCIÓN
Para que parezca mantenerse en una posición fija sobre la Tierra, el periodo del satélite debe ser 24 h 86 400 s y el satélite
debe estar en órbita directamente sobre el ecuador.
Resuelva la tercera ley de Kepler (con a r y M S M T )
para r :
Sustituya valores numéricos:
r c 16.67 10 11 N # m 2 >kg 2 215.98 10 24 kg2 186 400 s2 2 1>3
d
4p 2
4.23 10 7 m
r a GM TT 2 1>3
b
4p 2