SERWAY - JEWETT

284 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
O
y
dF t
r
dm
Figura 10.16 Un objeto rígido
giratorio en torno a un eje a
través de O. Cada elemento de
masa dm da vueltas en torno al
eje con la misma aceleración
angular .
x
La magnitud del momento de torsión neto debida a F S t en la partícula en torno a un eje
a través del centro del círculo es
t F t r 1ma t 2r
Ya que la aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular a través de la correspondencia
a t r (ecuación 10.11), el momento de torsión neto se expresa como
t 1mra2r 1mr 2 2a
Recuerde de la ecuación 10.15 que mr 2 es el momento de inercia de la partícula en torno
al eje z que pasa a través del origen, de modo que
t Ia (10.20)
Es decir, el momento de torsión neto que actúa sobre la partícula es proporcional a su
aceleración angular, y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia. Advierta
que I tiene la misma forma matemática que la segunda ley de movimiento
de Newton, F = ma.
Ahora la explicación se extenderá a un objeto rígido de forma arbitraria rotativo en
torno a un eje fijo, como en la figura 10.16. El objeto puede considerarse como un número
infinito de elementos de masa dm de tamaño infinitesimal. Si sobre el objeto se impone
un sistema coordenado cartesiano, cada elemento de masa da vueltas en un círculo en
torno al origen y cada uno tiene una aceleración tangencial S at producida por una fuerza
tangencial externa dF S t. Para cualquier elemento determinados, se sabe de la segunda ley
de Newton que
El momento de torsión
es proporcional a la
aceleración angular
dF t 1dm2a t
El momento de torsión d asociado con la fuerza dF S t actúa en torno al origen y se conoce
por
dt r dF t a t r dm
Ya que a t r, la expresión para d se convierte en
dt
ar 2 dm
Aunque cada elemento de masa del objeto rígido debe tener una diferente aceleración
traslacional a S t , todos ellos tienen la misma aceleración angular . Con esto en mente, se
puede integrar la expresión anterior para obtener el momento de torsión neto en
torno a un eje a través de O debido a las fuerzas externas:
t ar 2 dm a r 2 dm
donde se puede sacar de la integral porque es común a todos los elementos de masa.
De la ecuación 10.17 se sabe que r 2 es el momento de inercia del objeto en torno al eje
de rotación a través de O y, por ende, la expresión para se convierte en
t Ia (10.21)
Esta ecuación para un objeto rígido es la misma que para una partícula móvil en una trayectoria
circular (ecuación 10.20). El momento de torsión neto en torno al eje de rotación
es proporcional a la aceleración angular del objeto, con un factor de proporcionalidad I,
una cantidad que depende del eje de rotación y del tamaño y la forma del objeto. La ecuación
10.21 es la representación matemática del modelo de análisis de un objeto rígido bajo
un momento de torsión neto, el análogo rotacional a la partícula bajo una fuerza neta.
Por último, note que el resultado I también se aplica cuando las fuerzas que
actúan sobre los elementos de masa tienen componentes radiales así como componentes
tangenciales. Esto es porque la línea de acción de todas las componentes radiales debe
pasar a través del eje de rotación; en consecuencia, todas las componentes radiales producen
momento de torsión cero en torno a dicho eje.
Pregunta rápida 10.6 Enciende su taladro eléctrico y descubre que el intervalo de tiempo
para que la broca giratoria llegue al reposo debido al momento de torsión friccionante
en el taladro es t. Sustituye la broca con una más grande que resulta en la duplicación