SERWAY - JEWETT

588 Capítulo 21 Teoría cinética de los gases
z
d
d
m 0
y
Figura 21.1 Un cubo con lados
de longitud d que contiene un gas
ideal. La molécula que se muestra
se mueve con velocidad S vi.
v i
v xi
d
x
3. Las moléculas interactúan sólo mediante fuerzas de corto alcance durante colisiones
elásticas. Esto es consistente con el modelo de gas ideal, en el que las moléculas no
ejercen fuerzas de largo alcance unas sobre otra.
4. Las moléculas tienen colisiones elásticas contra las paredes. Estas colisiones conducen
a la presión macroscópica sobre las paredes del contenedor.
5. El gas en consideración es una sustancia pura; es decir, todas las moléculas son
idénticas.
Aunque con frecuencia se ilustra un gas ideal que consiste en átomos simples, el comportamiento
de los gases moleculares se aproxima al de los gases ideales, más a presiones
bajas. Por lo general, las rotaciones moleculares o vibraciones no tienen efecto sobre los
movimientos considerados en este caso.
Como primera aplicación de la teoría cinética, obtenga una expresión para la presión
de N moléculas de un gas ideal en un contenedor de volumen V en términos de cantidades
microscópicas. El contenedor es un cubo con bordes de longitud d (figura 21.1). Primero
se concentra la atención en una de dichas moléculas de masa m 0 y se supondrá móvil de
modo que su componente de velocidad en la dirección x es v xi , como en la figura 21.2.
(En este caso, el subíndice i se refiere a la i–ésima molécula, no a un valor inicial. En breve
se combinarán los efectos de todas las moléculas.) A medida que la molécula tiene una
colisión elástica con cualquier pared (suposición 4), su componente de velocidad perpendicular
a la pared se invierte, porque la masa de la pared es mucho mayor que la masa de
la molécula. Ya que la componente de la cantidad de movimiento p xi de la molécula es
m 0 v xi antes de la colisión y m 0 v xi después de la colisión, el cambio en la componente x de
la cantidad de movimiento de la molécula es
¢p xi m 0 v xi 1m 0 v xi 2 2m 0 v xi
Ya que las moléculas obedecen las leyes de Newton (suposición 2), se aplica el teorema
impulso–cantidad de movimiento (ecuación 9.8) a la molécula para obtener
F i, sobre molécula ¢t colisión ¢p xi 2m 0 v xi
v i
v yi
–v xi
v i
v yi
v xi
Figura 21.2 Una molécula
tiene una colisión elástica contra
la pared del contenedor. Su
componente x de cantidad de
movimiento se invierte, mientras
que su componente y permanece
inalterada. En esta construcción
se supone que la molécula se
mueve en el plano xy.
donde F i, sobre molécula es la componente x de la fuerza promedio 1 que la pared ejerce sobre
la molécula durante la colisión y t colisión es la duración de la colisión. Para que la molécula
tenga otra colisión con la misma pared después de esta primera colisión, debe viajar
una distancia de 2d en la dirección x (a través del contenedor y de regreso). Por lo tanto,
el intervalo de tiempo entre dos colisiones contra la misma pared es
¢t
La fuerza que causa el cambio en cantidad de movimiento de la molécula en la colisión
contra la pared se presenta sólo durante la colisión. Sin embargo, es posible promediar la
fuerza durante el intervalo de tiempo para que la molécula se traslade a través del cubo y
regrese. A veces, durante este intervalo de tiempo, se presenta la colisión, así que el cambio
en cantidad de movimiento para este intervalo de tiempo es el mismo que para la duración
breve de la colisión. En consecuencia, se puede reescribir el teorema impulso–cantidad
de movimiento como
F i ¢t
2d
v xi
2m 0 v xi
donde F i, es la componente de la fuerza promedio en el intervalo de tiempo para que
la molécula se traslade a través del cubo y regrese. Ya que se presenta exactamente una
colisión por cada uno de tales intervalos de tiempo, este resultado también es la fuerza
promedio a largo plazo en la molécula durante largos intervalos de tiempo que contienen
cualquier número de múltiplos de t.
Esta ecuación y la anterior permiten expresar la componente x de la fuerza promedio
a largo plazo ejercida por la pared sobre la molécula como
F i
2m 0 v xi
¢t
2
2m 0 v xi
2d
2
m 0 v xi
d
1
Para esta explicación se usa una barra sobre una variable para representar el valor promedio de la variable,
tal como F para la fuerza promedio, en lugar del subíndice “prom” que se usó anteriormente. Esta notación
es para evitar confusiones porque ya se tienen algunos subíndices en las variables.