SERWAY - JEWETT

Sección 13.6 Consideraciones energéticas en el movimiento planetario y de satélites 377
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Este ejemplo es un problema de sustitución.
Encuentre el radio inicial de la órbita del satélite cuando
aún está en la bahía de carga del trasbordador:
r i R T 280 km 6.65 10 6 m
Aplique la ecuación 13.18 para encontrar la diferencia
en energías para el sistema satélite–Tierra con el satélite
en los radios inicial y final:
Sustituya valores numéricos usando r f 4.23 10 7 m
del ejemplo 13.5:
¢E E f E i
GM T m
2r f
¢E
a
GM T m
b
2r i
GM T m
a 1 1
b
2 r f r i
16.67 10 11 N # m 2 >kg 2 215.98 10 24 kg2 1470 kg2
1
a
4.23 10 7 m
2
1
6.65 10 6 m b
1.19 10 10 J
que es la energía equivalente a 89 galones de gasolina. Los ingenieros de la NASA deben tomar en cuenta el cambio de masa
de la nave mientras expulsa combustible quemado, algo que no se hizo en este caso. ¿Esperaría que al incluir dicho cálculo
el efecto de esta masa cambiante, produzca una cantidad de energía mayor o menor que la requerida por el motor?
Rapidez de escape
Suponga que un objeto de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie
de la Tierra con una rapidez inicial v i , como se ilustra en la figura 13.14. Es posible
usar consideraciones energéticas para encontrar el valor mínimo de la rapidez inicial
necesaria para permitir al objeto moverse infinitamente lejos de la Tierra. La ecuación
13.16 da la energía total del sistema en cualquier punto. En la superficie de la Tierra, v
v i y r r i R T . Cuando el objeto alcanza su altura máxima, v v f 0 y r r f r máx . Ya
que la energía total del sistema objetoTierra se conserva, sustituir estas condiciones en
la ecuación 13.20 produce
Al resolver para v i
2
se obtiene
1
2mv i 2
GM T m
R T
GM T m
r máx
v i 2 2GM T a 1 R T
1
r máx
b (13.21)
Para una altura máxima dada h r máx R T , se puede usar esta ecuación para encontrar
la rapidez inicial requerida.
Ahora está en posición de calcular la rapidez de escape, que es la rapidez mínima que
debe tener el objeto en la superficie de la Tierra para aproximarse a una distancia de
separación infinita desde la Tierra. Al viajar con esta rapidez mínima, el objeto continúa
moviéndose cada vez más lejos de la Tierra conforme su rapidez se aproxima asintóticamente
a cero. Al hacer r máx en la ecuación 13.21 y tomar v i v esc se obtiene
v esc
2GM T
R T
(13.22)
Esta expresión para v esc es independiente de la masa del objeto. En otras palabras, una
nave espacial tiene la misma rapidez de escape que una molécula. Además, el resultado es
independiente de la dirección de la velocidad e ignora la resistencia del aire.
Si al objeto se le da una rapidez inicial igual a v esc , la energía total del sistema es igual
a cero. Note que, cuando r , la energía cinética del objeto y la energía potencial del
sistema son cero. Si v i es mayor que v esc , la energía total del sistema es mayor que cero y
el objeto tiene alguna energía cinética residual conforme r .
R T
v f 0
v i
m
M T
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 13.3
En realidad no puede escapar
Aunque la ecuación 13.22
proporciona la “rapidez de
escape” de la Tierra, escapar
por completo de la influencia
gravitacional de la Tierra es
imposible porque la fuerza
gravitacional es de alcance
infinito. No importa qué tan
lejos esté, siempre sentirá alguna
fuerza gravitacional debida a la
Tierra.
h
r máx
Figura 13.14 Un objecto de masa
m es proyectado hacia arriba desde
la superficie de la Tierra, con una
velocidad inicial v, alcanzando
una altura máxima h.