Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

88 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
“donnée” la métrique gµν décrivant l’espace-temps, le mouvement d’un système s’obtient
par la résolution de l’équation de conservation de l’énergie-impulsion 1
∇µT µν = 0, (3.29)
où ∇ est la dérivée covariante associée à la connexion de Levi-Civita.
Un fluide parfait est décrit par un tenseur Tµν de la forme
T µν = ρ U µ U ν + P γ µν , (3.30)
où ρ est la densité d’énergie totale (densité de masse incluse) et P la pression (toutes deux
mesurées dans le référentiel lié au fluide), U µ la quadrivitesse du fluide et γµν = gµν + Uµ Uν
le projecteur 2 sur le 3-espace orthogonal à U µ .
Il faut par ailleurs introduire également la conservation du nombre baryonique
∇µ (nb U µ ) = 0 (3.31)
et une équation d’état reliant la densité baryonique nb à la pression P . Si l’on suppose
que cette équation n’est pas barotrope, il faut alors également une équation gouvernant
la dynamique de la nouvelle variable pour que le système soit complet. Une fois une
telle équation ajoutée, ou dans le cas d’une équation d’état barotrope, on montre que
le système formé des équations (3.29), (3.31), de l’équation d’état et de la condition de
normalisation de la quadrivitesse U µ Uµ = −1 est dégénéré. En effet, on dispose ainsi
de 7 équations pour 6 variables nb, P et les composantes de la vitesse 3 . Cependant, la
projection de l’équation (3.29) le long de la quadrivitesse du fluide U µ donne (en utilisant
la conservation du nombre baryonique)
U µ
∇µ
f
nb
− 1
nb
∇µP
= 0 , (3.32)
où l’on a posé f = ρ + P qui est l’enthalpie 4 . Ainsi, f/nb est l’enthalpie par baryon, et
cette équation s’écrit aussi
U µ (T ∇µσ) = 0 , (3.33)
1 La recherche de solutions passe en toute rigueur par une résolution simultanée des équations d’Einstein
et de cette équation. Le point de vue adopté est donc “simpliste” et partial, puisqu’il sous-entend dès à
présent l’approximation de Cowling forte qui sera introduite par la suite.
2 La définition de cet opérateur dépend de la signature choisie pour l’espace-temps. Ici, l’espace-temps
est de signature (−, +, +, +) ≡ +2 et les quadrivitesses de particules massives sont donc de norme −1.
3 La densité d’énergie totale est en effet obtenue par l’utilisation des principes de la thermodynamique,
puisque l’on a, pour un fluide à température nulle, µ = ∂ρ/∂nb, qui est le potentiel chimique et permet
d’écrire, pour un fluide constitué d’une seule phase, ρ = −P + µ nb.
4 La notation usuelle h pour l’enthalpie n’est pas utilisée car H désigne par la suite la “log-enthalpie”,
ou “enthalpie relativiste”, et h sa perturbation eulérienne.