Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

3.2 Oscillations d’une étoile relativiste 89
où σ est l’entropie par baryon. Cette projection de la conservation de l’énergie-impulsion
ne fait donc que traduire le fait que le fluide est parfait et le mouvement isentrope.
En revanche, si l’on projette l’équation (3.29) sur le 3-espace orthogonal à U µ à l’aide de
l’opérateur γµν défini précédemment, on aboutit à la généralisation relativiste de l’équation
d’Euler
U µ U ν ∇ν P + ∇ µ P + f U ν ∇νU µ = 0. (3.34)
Si l’équation d’état est barotrope, il est utile de définir la log-enthalpie (ou enthalpie
relativiste) H telle que
∇µH = ∇µP
, (3.35)
ρ + P
dont on montre, pour un fluide constitué d’une seule sorte de particules de masse au repos
m, qu’elle peut s’écrire
H = ln
f
. (3.36)
nb m
Avec la log-enthalpie, l’équation (3.34) se met sous la forme un peu plus condensée
U µ U ν ∇ν H + ∇ µ H + U ν ∇νU µ = 0. (3.37)
3.2.2 Modes relativistes et approximation de Cowling forte
Le calcul des modes d’oscillations d’un fluide dans le cadre de la relativité générale est
bien plus complexe que le calcul newtonien équivalent, puisqu’il suppose que l’on perturbe
à la fois l’équation de conservation de l’énergie-impulsion (3.29) [ou l’équation d’Euler
(3.34)] et les équations d’Einstein (1.10) rappelées dans le chapitre 1. Ainsi, dans l’équation
linéarisée régissant le mouvement du fluide, apparaissent autant les perturbations des
grandeurs physiques f, P et U µ que celles des dérivées covariantes qui sont des objets
géométriques. Ici ne sera résumé que le strict minimum nécessaire à la compréhension des
chapitres suivants dans lesquels une approximation “assez forte” (mais justifiée pour une
première approche) est faite. Pour une présentation plus générale, on pourra, par exemple,
consulter :
- toute une série d’articles, par Thorne et ses collaborateurs, traitant des modes nonradiaux
des étoiles à neutrons et du rayonnement gravitationnel qui leur est associé :
voir par exemple Thorne & Campolattaro (1967), (1968) et (1969) ainsi que Price
& Thorne (1969) ;
- une revue “vivante” 1 sur les oscillations quasi-périodiques des trous noirs et étoiles à
neutrons : Kokkotas & Schmidt (1999) ;
- un cours [Carter (1989)] sur le formalisme variationnel en hydrodynamique relativiste.
Ce formalisme repose sur l’algèbre extérieure, permet d’obtenir les équations du
mouvement de manière très condensée, et facilite le traitement des problèmes à
1 car en ligne sur Internet.