Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

48 Etoiles à neutrons
- λ qui est un scalaire dépendant du cas A, B ou C considéré (on a λA = 1, λB = 1/2 et
λC = 3/2) ;
- f qui est la distribution de Fermi-Dirac [équation (2.3)] évaluée en z avec
z = sign[η]
√ δ 2 +η 2
kB T = sign[x] x 2 + y 2 , (2.16)
x = η
δ
, y = . (2.17)
kB T kBT
Finalement, il est utile de définir également une variable dédimensionnée caractérisant
l’amplitude du gap, ainsi qu’une température dédimensionnée. On pose
v =
∆[T ]
kBT
et τ = T
, (2.18)
ce qui permet d’aboutir à
yA = vA,
√
yB = vB 1 + 3 cos2 ϑ et yC = vC sin ϑ. (2.19)
A l’aide de l’équation (2.15), on peut calculer les valeurs asymptotiques des amplitudes
vi dans les cas
- T → Tc ;
- T ≪ Tc (hypothèse de superfluidité forte).
On obtient ainsi dans le premier cas (T ∼ Tc), v = β √ 1 − τ, avec βA = 3.063,
βB = 1.977, βC = 3.425 [voir Landau & Lifshitz (1980) ou Levenfish & Yakovlev (1994b)],
et dans le deuxième cas (T ≪ Tc), v = ∆0/(kBTc τ). Levenfish et Yakovlev (1993, 1994b)
ont calculé pour chacun de ces cas de superfluidité des formules paramétrées rendant
compte de ces limites et de valeurs intermédiaires obtenues numériquement. Ils ont proposé
les fonctions
Tc
vA = √
1 − τ 1.456 − 0.157 √ + τ 1.764
, τ
vB = √ 1 − τ 0.7893 + 1.188
, (2.20)
τ
vC = √ 1−τ 4
(2.030 − 0.4903τ τ
4 + 0.1727τ 8 ) ,
qui sont valables avec une erreur moyenne de 1 à 2% et une erreur maximale inférieure à
5%.
Ces formules seront par exemple utiles pour évaluer l’évolution du gap au cours du
refroidissement d’un pulsar. Cependant, pour un tel calcul, le problème majeur reste
une évaluation précise des températures critiques et des gaps à température nulle (les
constantes d’intégration ∆0). Ces quantités sont en effet très sensibles vis-à-vis des incertitudes
concernant l’interaction forte 1 (voir la figure 2.8 qui illustre les incertitudes sur les
1 Pour plus de détails concernant la superfluidité dans les étoiles à neutrons et son effet sur leur
refroidissement (ce qui sera discuté dans la section 2.3), voir par exemple Yakovlev et al. (1999).