Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

où l’on a introduit
5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 159
γF =
∂ log[P ]
∂ log[nb] , (5.53)
xp
indice décrivant la perturbation pour laquelle la composition est “gelée” (Frozen). Par
ailleurs, la relation formelle générale liant les pertubarions lagrangiennes et eulériennes
par l’intermédiaire de la dérivée de Lie
permet d’écrire
où
est obtenu en inversant la relation xp β [nb].
dL − dE = £ξ, (5.54)
dLnb − dEnb = dnb
(dLxp − dExp) , (5.55)
dxpβ dnb
dxp β
Après quelques lignes de calcul, on aboutit à l’expression finale
dEP = dEPβ + P
qui est utilisée dans l’équation du mouvement.
nb
(5.56)
dLnb (γF − γβ) (5.57)
Mais dans cette dernière, le développement du terme (5.38) donne
∇P
dE =
f
∇dEP
f
− dEf
f 2 ∇P . (5.58)
Ainsi, en plus de la pression, on doit décomposer également la fonction f, pour obtenir
une expression du type
∇P
dE =
f
∇dEPbaro
+
f
∇dEPnon−baro
−
f
dEfbaro
f 2
∇P − dEfnon−baro
f 2
∇P , (5.59)
dans laquelle on peut “recombiner” les termes donnant un gradient et écrire
∇P
dE =
f
∇dEH + ∇dEPnon−baro
f
− dEfnon−baro ∇H ,
f
(5.60)
où l’enthalpie relativiste introduite est définie à partir de la configuration d’équilibre, et
sa perturbation à partir des perturbations eulériennes barotropes des grandeurs P et f.