Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

82 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
et
ξ[a, 0] ≡ 0. (3.12)
De manière générale, pour une fonction f quelconque, on pose
f[a, t] = f0[a, t] + dLf[a, t]. (3.13)
A l’aide de ces relations et en supposant que le jacobien de la transformation x i → a i
ne s’annulle pas, on montre que l’équation linéarisée reliant les perturbations eulérienne
et lagrangienne s’écrit (pour une fonction scalaire)
Par ailleurs, la vitesse est définie par
dLf = dEf + ξ · ∇f. (3.14)
v[x, t] ≡ v[x[a], t] = Dx
Dt ≡ ∂tx[a, t] (3.15)
et si, pour un même élément de fluide, on fait la différence entre cette expression évaluée
d’une part dans la configuration originelle et d’autre part dans la configuration perturbée,
on obtient ainsi
dLv = D ξ
.
Dt
(3.16)
Cette dernière équation permet d’aboutir finalement à l’expression
dEv = ∂t ξ + (v0 · ∇) ξ − ( ξ · ∇)v0. (3.17)
On remarque enfin que lorsque l’on a v0 ≡ 0, il y a identité entre dEv et dLv. De
manière générale, on utilise dans le formalisme lagrangien la variable ξ et dans le formalisme
eulérien dEv.
Ce que l’on nomme communément mode d’un fluide est alors une perturbation
dEv ou ξ dont la dépendance temporelle est harmonique. D’un point de vue purement
mathématique, c’est donc un vecteur propre de la version linéarisée du système d’équations
régissant la dynamique du système physique près d’un état d’équilibre donné. En effet,
dans le formalisme eulérien, on peut écrire de manière symbolique l’équation d’évolution
linéarisée sous la forme
−→
∂tAE
= −LE
−→AE,
−→
∂j
AE, ∂jk
−→
AE, ...
, (3.18)
où les ∂i désigne les dérivées partielles par rapport aux coordonnées spatiales et L un
opérateur différentiel linéaire. Les AE c sont quant à eux les composantes d’un pseudovecteur
rassemblant toutes les perturbations eulériennes des quantités physiques 1 .
1 Ce n’est évidemment pas un vecteur au sens propre du terme car la notion de transformation de
ses composantes par combinaisons linéaires n’aurait aucun sens physique. Par ailleurs, il faut noter que,
pour des “ingrédients” physiques donnés, la dimension de l’espace vectoriel auquel appartient le vecteur
est reliée à l’ordre, par rapport aux dérivées spatiales, de l’opérateur retenu. En effet, plus on fait de
substitutions dans les équations, plus la dimension de l’espace vectoriel est petite et l’ordre de l’opérateur
élevé.