Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

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176 Géométrie différentielle ⋆ Une variété différentielle munie d’une métrique positive sera dit riemannienne et elle sera dite pseudo-riemmannienne dans le cas contraire. L’espace-temps de la relativité générale est donc une variété pseudo-riemannienne telle que la métrique de signature (−, +, +, +) permet de mesurer des distances spatiotemporelles (voir chapitre 1). Par ailleurs, l’existence d’une métrique définie sur une variété riemmannienne introduit des isomorphismes naturels entre les différents espaces tensoriels, exactement de la même façon que pour un espace euclidien ou minkowskien. Un résultat important concernant les variétés riemanniennes est le fait qu’il existe une unique connexion affine, dire de Levi-Civita, qui est compatible avec la métrique (la dérivée covariante de la métrique est nulle) et sans torsion. Cette connexion est celle qui joue un rôle fondamental en relativité générale, et elle permet de définir les tenseurs de courbure apparaissant dans les équations d’Einstein (1.10). ⋆ On définit le tenseur de Riemann comme le tenseur de courbure de la connexion de Levi-Civita, et le tenseur de Ricci comme une contraction de ce dernier (pour plus de détails voir l’une des références citées en début d’appendice). La dernière notion utile ici est celle de dérivée de Lie qui est indépendante de l’existence d’une métrique ou non, et aurait donc pu être introduite dès que la structure de Lie de T M a été signalée. Cependant, dans une théorie métrique, l’un des intérets principaux de cette dérivée est de permettre de définir des symétries et des quantités conservées, ce qui se fait par l’intermédiaire des vecteurs de Killing. La définition qui suit n’est pas la plus intuitive pour comprendre sa signification ”physique”, mais elle est suffisamment simple tout en étant complète et valable. ⋆ La dérivée de Lie £ d’un tenseur d’ordre (p, q) par rapport à un vecteur X est une application de l’espace T p q dans lui-même qui vérifie : - £X(S + T ) = £XS + £XT , - £X(S ⊗ T ) = (£XS) ⊗ T + S ⊗ (£XT ) , - S ∈ T M → £XS = [X, S] , - S ∈ F[M] → £XS = X[S] , - S ∈ T M et T ∈ T ∗ M → £X(S i Ti) = (£XS) i Ti + S i (£XT )i . ⋆ Un vecteur de Killing est un champ vectoriel K tel que £Kg = 0, où g est la métrique de l’espace-temps. On montre que le produit scalaire entre un vecteur de Killing et le vecteur tangent à une géodésique est une constante. L’existence de vecteurs de Killing de l’espace-temps permet donc de définir des quantités conservées dans la cinématique.
Appendice B Spectral methods and vectorial equations Sommaire B.1 Spirit of the spectral methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . 183 The numerical algorithm adopted to solve the NSE (or the EE) is based on the spectral methods (SM) widely used in hydro or MHD problems. Before explaining this algorithm in more details, in a first Appendix, we will begin with a short summary of the SM in order to make more evident the peculiarity of the solving of vectorial equations like NSE. Then in a second Appendix, we deal explicitly with EE and aim at explaining the way we implemented the approximation done on the mass conservation equation. B.1 Spirit of the spectral methods Our group developed algorithms and routines library [Bonazzola & Marck (1990),Bonazzola et al. (1999)] 1 allowing us to solve partial differential equations (PDE) in different geometries, mainly in domains diffeomorphic to a sphere. First, with an example of scalar PDE, we will look at the singularities contained in operators expressed in spherical-like coordinates [see, for instance, the different components of the NSE : Equation (4.9)] and 1 In 1980, one of us (S.B.) started to build a library of routines based on spectral methods to solve PDE in different geometries. Today, this library contains more than 700 routines written in FORTRAN 70 and 90 languages. These routines have a strict hierarchy and allow us to assemble codes in modular way. We call this library “Spectra”. A part of this library (the highest in the hierarchy) was written in C ++ language by J.A. Marck and E. Gourgoulhon in order to allow the use of an object oriented language. This library is called “Lorene”. The code described in this section uses the “Spectra” library and is written in FORTRAN 90 language.
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Table des matières Résumé v Abst
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TABLE DES MATIÈRES iii 4.5.2 Noise
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Résumé Résumé v Cette étude tr
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Abstract Abstract vii This study de
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Introduction Les sens dont l’a do
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Introduction 3 même, leurs observa
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Chapitre 1 Relativité générale e
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1.1 Relativité générale 1.1.1 Gr
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1.1 Relativité générale 9 La rel
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1.1.3 Tests et prédictions 1.1 Rel
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1.2 Ondes gravitationnelles 1.2.1 E
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y 1.2 Ondes gravitationnelles 15 x
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1.3 Sources d’ondes gravitationne
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1.4 Détection 23 Figure 1.6 - Sens
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¢¡ £ © ¥ ¢¡ £ © ¤ ¢¡ £
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Chapitre 2 Etoiles à neutrons Somm
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2.1 Naissance d’une étoile à ne
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2.1 Naissance d’une étoile à ne
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astre Terre Soleil naine blanche é
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2.2 Structure interne 35 Figure 2.4
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2.2 Structure interne 37 extensions
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2.2 Structure interne 39 Figure 2.5
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2.2 Structure interne 41 rigidité
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2.2 Structure interne 45 à des fer
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2.3 Principes de l’évolution d
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est environ 0.7 fois la masse nue 1
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Log 10 (T/10 9 K) 0 -0.5 -1 -1.5 -2
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2.4 Superfluidité et écarts à l
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aboutit à 2.4 Superfluidité et é
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Résultats 2.4 Superfluidité et é
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Chapitre 3 Oscillations stellaires
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3.1 Modes d’une étoile à neutro
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3.1.2 Perturbations 3.1 Modes d’u
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Un mode propre vérifie donc 3.1 Mo
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Ω c /Ω max 1.00 0.98 0.96 0.94
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3.3 Modes inertiels et r-modes 97 F
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P K /P 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 3.3 Mode
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3.3 Modes inertiels et r-modes 101
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Chapitre 4 Inertial modes in slowly
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or 4.2 Equations and numbers 113 Tv
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4.4 Test and calibration of the cod
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4.4 Test and calibration of the cod
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Sp(V θ ) 1 4.4 Test and calibratio
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E(t) / E 0 1.15 1.1 1.05 1 4.4 Test
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