Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 55
et al. (1988) sera utilisée dans une étude des modes inertiels d’une étoile à neutrons
relativiste avec équation d’état non-barotrope et assez réaliste (voir la section 5.2). S[nb]
est quant à lui dit terme d’énergie de symétrie (∼ 30 MeV à la densité de saturation)
et sa valeur est capitale pour la composition de la matière et donc pour l’existence des
réactions Durca. En effet, imposer l’équilibre bêta et la neutralité électrique revient à
minimiser (par rapport à xp, nb étant fixé) la fonction
E[nb, xp] = EN[nb, xp] + Ee[nb, xp], (2.35)
où le second terme est la contribution des électrons et vaut (gaz de Fermi ultrarelativiste
à température nulle)
Ee[nb, xp] = 3
4 b u1/3 x 4/3
e
(2.36)
avec les définitions u = nb / n0 et b = c (3 π 2 n0) 1/3 . xe est bien évidemment la fraction
électronique égale à la fraction protonique. Dans ces conditions, on aboutit à l’équation
où y 3 = xp et α = (b u 1/3 )/(8 S[nb]).
y 3 + α y − 1
2
= 0, (2.37)
Cette équation se résout analytiquement par la méthode de Cardan et l’on peut montrer
(α étant un réel strictement positif) qu’elle admet une seule racine réelle
xβ[u] = 1
2 − α 2−2/3 (Γ + 1) 1/3 − (Γ − 1) 1/3
avec Γ = 1 + 16
27 α3 .
(2.38)
Il est alors facile de vérifier que la solution est une fonction croissante de S[nb] et qu’à
la limite où S[nb] tend vers +∞, la solution tend vers une matière symétrique xβ = 1/2.
Pour nb ∼ n0, les réactions Durca ne sont pas possibles (voir les valeurs données
précédemment), mais pour des densités supérieures (plusieurs fois n0), la situation reste
indéterminée. En effet, dans un modèle où chacune des particules est un gaz parfait de
Fermi, les processus Durca sont toujours interdits [Shapiro & Teukolsky (1983)]. Mais
avec des équations d’état plus réalistes, Lattimer et al. (1991) ont montré que la question
n’était pas tranchée, l’énergie de symétrie étant assez mal connue et suffisamment élevée
pour certains modèles. Finalement, on note également que l’inclusion de muons (comme
un gaz de Fermi parfait et non relativiste) dans la composition de la matière autorise des
fractions protoniques à l’équilibre légèrement plus élevées, mais négliger leur présence est
une très bonne approximation pour des étoiles qui ne sont pas trop massives. La conclusion
provisoire semble donc que dans le cœur des étoiles très massives, où la densité peut
atteindre des valeurs importantes, des réactions Durca conduisant à un refroidissement
rapide sont envisageables. En revanche, les étoiles moins massives doivent se refroidir par