Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

90 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
plusieurs fluides. Dans Carter (2001) est présentée son application au problème de
l’hydrodynamique des superfluides dans les étoiles à neutrons relativistes.
Le point fondamental qui est utilisé par la suite et simplifie considérablement les calculs
est le fait que l’on s’intéresse à des instabilités séculaires dont le temps de croissance
est grand comparativement à leur pseudo-période et qui sont de plus associées à des variations
(eulériennes) de densité assez peu importantes. Dans ce contexte, et puisque l’on
étudie avant tout l’influence de divers phénomènes physiques sur ces modes d’oscillation
eux-mêmes, on peut se permettre, en première approximation, de négliger les variations
eulériennes du champ gravitationnel. Dans le cadre newtonien, cette approximation a été
introduite par Cowling et porte son nom. Sa généralisation relativiste consiste donc à
poser dEgµν ≡ 0, ce qui a pour effet de “tuer” les ondes gravitationnelles. Néanmoins,
pour les raisons qui viennent d’être résumées et seront exposées plus précisément dans la
section 3.3, cette approximation est assez correcte.
Dans ce contexte, deux situations différentes vont se présenter par la suite. Dans un
premier temps (fin de l’article/chapitre 4 et début du chapitre 5), lorsque l’on étudie des
modes dans une étoile avec équation d’état barotrope, il suffit de linéariser par perturbation
eulérienne l’équation (3.37) pour obtenir une équation relativiste pour les modes.
En définissant convenablement les variables, on se ramène même à une équation écrite
de manière très similaire à l’équation d’Euler newtonienne. Dans un second temps (chapitre
5), une équation d’état analytique assez réaliste, venant de la physique nucléaire et
dépendant de deux paramètres est introduite. Dans ce contexte, il est nécessaire d’avoir
une équation supplémentaire régissant la dynamique de la seconde variable 1 et l’on a
besoin de faire intervenir ξ µ , généralisation relativiste du déplacement lagrangien, et la
variation lagrangienne de la densité baryonique dLnb. Avant de détailler plus ces derniers
points (voir chapitre 5), on peut signaler, dans cette brève et assez générale présentation,
certaines définitions et propriétés dont ils dépendent.
Ainsi :
- la relation (3.14) qui relie les perturbations eulérienne et lagrangienne d’un champ
scalaire dans le cadre newtonien peut se généraliser de deux façons différentes pour
un vecteur. On peut écrire au choix
ou
dLv − dEv =
ξ · ∇
v (3.38)
dLv − dEv = £ ξ v, (3.39)
1 L’équation retenue dit justement qu’il n’y a pas de dynamique, puisque cette seconde variable, la
fraction protonique d’un élément de fluide, est supposée garder une valeur constante lors du déplacement
perturbé du fluide. Cette hypothèse est justifiée dans le chapitre 5, mais tire son origine du fait que le
temps dynamique du fluide est bien plus court que le temps de retour à l’équilibre bêta. On a en effet vu
dans la section 2.3 que le temps typique de retour à l’équilibre par réactions Urca est au moins de l’ordre
de quelques secondes alors que le temps dynamique considéré est au plus de quelques millisecondes.