Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

174 Géométrie différentielle
⋆ M est un espace topologique séparé ou de Hausdorff ssi ∀(x, y) ∈ M 2 , ∃(U, V ) couple
d’ouverts tels que : x ∈ U, y ∈ V et U ∩ V = ∅.
⋆ M est une variété topologique de dimension n ssi M est un espace de Hausdorff
dont chaque point possède un voisinage homéomorphe 1 à un ouvert de R n .
⋆ Etant donné M, variété topologique, (U, ϕ) est une carte locale de M ssi
- U est un ouvert de M ;
- ϕ est un homéomorphisme de U dans W ouvert de R n . Les coordonnées de
ϕ(p) ∈ R n image de p ∈ M par ϕ, sont appelés coordonnées de p dans
la carte et notés ϕ(p) = (x 1 , .., x n ).
⋆ A est un atlas de classe Ck de M variété topologique ssi A est un ensemble (Ui, ϕi)i∈I
de cartes locales de M tel que
-
Ui ≡ M
i∈I
: ϕi(Ui ∩ Uj) → ϕj(Ui ∩ Uj) est une fonction de classe Ck de Rn dans lui-même. On dit que ces fonctions sont Ck compatibles.
- ∀(i, j), ϕj ◦ ϕ −1
i
⋆ (M, A) est une variété différentiable de classe C k ssi M est un espace de Hausdorff
et A un atlas de classe C k .
Pour la suite, par abus de notation, M désignera la variété différentiable qui sera
supposée, par simplicité, de classe C ∞ .
A.2 Espaces vectoriels tangents et connexions
⋆ Etant donnés M, variété différentiable, et F[M] espace des fonctions de M à valeurs
dans R, on nomme vecteur tangent à M en A une application V|A de F[M] dans
R qui est linéaire et vérifie la règle de Leibniz :
∀(f, g) ∈ F[M] 2 , V|A[fg] = g V|A[f] + f V|A[g].
⋆ L’ensemble TAM des vecteurs tangents à M en A est nommé espace vectoriel tangent
à M en A. On montre qu’il s’agit d’un espace vectoriel dont la dimension est
celle de M et qui, étant donné un système de coordonnées local (une carte locale),
admet pour base l’ensemble des dérivées partielles par rapport à ces coordonnées. On
note T M, l’ensemble des espaces vectoriels tangents, aussi nommé fibré tangent.
⋆ Un champ vectoriel V est une application de M dans T M telle que pour tout A
de M, V [A] est un vecteur tangent à M. T M est munie d’une structure de Lie
naturelle [., .] définie par : ∀X, Y ∈ T M 2 ,
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X.
1 Un homéomorphisme ϕ est une bijection bicontinue, i.e. ϕ et ϕ −1 sont continues.