Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

5.1 Etoiles relativistes en rotation 153
La double linéarisation de l’équation d’Euler relativiste (3.34) par rapport à la perturbation
dEU et par rapport à Ω donne alors le système
(∂t + Ω ∂φ) dEU r
1 + dE f ∂rP
− 2 dEU ϕ
sin[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) r a ′
r N ′
r N + 1 − − a N
ϕ′
= 0 ,
2
(∂t + Ω ∂φ) dEU ϑ + dE
+ 2 dEU r sin[ϑ]
1
f
∂ϑP
r − 2 dEU ϕ cos[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) = 0 , (5.23)
(∂t + Ω ∂φ) dEU ϕ + dE
(Ω − N ϕ [r]) r a ′
a
1
f
∂ϕP
r sin[ϑ]
+ 1 − r N ′
N
+ 2 dEU ϑ cos[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) = 0 ,
r N − ϕ′
où le signe ′ désigne la dérivation par rapport à la coordonnée radiale et où l’on a posé
f = ρ + P .
A ce système 1 , il faut ajouter la conservation du nombre baryonique
qui est équivalente à
∇µ (nb U µ ) = 0 , (5.24)
1 √
√ ∂µ −g nb U
−g µ = 0 , (5.25)
avec g déterminant de la métrique. Avec la métrique (5.16), on obtient
√ −g = N[r] a[r] 3 r 2 sin[ϑ] . (5.26)
Afin d’obtenir une écriture des équations du mouvement qui soit d’allure newtonienne,
il est utile de réécrire cette égalité sous la forme
√ −g = N[r] a[r] 3 e , (5.27)
dans laquelle on a introduit e = r 2 sin[ϑ], racine du déterminant de la 3-métrique spatiale
plate.
Ainsi, si l’on utilise également la forme de la configuration stationnaire (5.19) et le fait
que l’étoile stationnaire est à symétrie sphérique, l’équation (5.25) linéarisée par rapport
à la perturbation eulérienne peut être écrite
(∂t + Ω ∂ϕ) dEñ + ñ ∂tdEU 0 2 N
+ div ñ
a2 −→
W = 0 , (5.28)
1 qui redonne bien les équations newtoniennes lorsque l’on fait tendre N ϕ , a ′ /a et N ′ /N vers 0.
2