Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

P K /P
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3.3 Modes inertiels et r-modes 99
dynamical stability limit
shear viscosity
dominates over
radiation reaction
r-mode instability window
bulk viscosity
dominates over
radiation reaction
0.0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
log 10 (T/1K)
Figure 3.3 – Fenêtre d’instabilité des modes r dans une étoile à neutrons. Figure issue
de Andersson & Kokkotas (2001).
importance puisqu’une amplitude trop faible rendrait caduc le mécanisme de croissance
et ne mènerait pas à une production conséquente d’ondes gravitationnelles. Le premier
travail effectué sur ce sujet fut celui de Stergioulas & Font (2001). Ils firent une évolution
temporelle numérique non-linéaire et relativiste de modes r “lâchés” avec une amplitude
initiale assez importante dans un espace-temps figé par l’approximation de Cowling, et ne
trouvèrent pas de saturation des modes. Ce résultat surprenant fut suivi par une étude de
Lindblom et al. (2001) [voir aussi Lindblom et al. (2002)] qui firent une évolution temporelle
non-linéaire newtonienne avec des modes r linéaires de faibles amplitudes pour conditions
initiales. Ils ajoutèrent dans leurs équations une force de “réaction à la radiation”
post-newtonienne. Cette force, dont l’allure fait intervenir les multipôles post-newtoniens,
traduit l’effet de l’émission d’ondes gravitationnelles sur le fluide qui les produit [pour
une description un peu plus précise, voir Blanchet (2002) ou le début du chapitre 4].
Cependant, elle comporte des dérivées temporelles d’ordres élevés (voir les formules quadrupolaires
présentées dans le chapitre 1) et un couplage avec les modes fluides qui est
très faible puisque l’instabilité est séculaire. Ainsi, afin d’avoir un temps de calcul qui soit
techniquement réalisable, Lindblom et al. utilisèrent des valeurs non-physiques (en diminuant
la vitesse de la lumière) et supposèrent une dépendance harmonique des dérivées
temporelles. De cette façon, ils aboutirent à une saturation, mais sous la forme d’une
déferlante (voir la figure 3.4).
Le principal problème rencontré lors des études numériques précédentes est le traitement
des petites échelles. En effet, les méthodes utilisées reposent sur des schémas
spatiaux par différences finies pour lesquels la résolution numérique actuelle limite l’accès
à des échelles trop faibles. Or, c’est à ces petites échelles, jouant un rôle fondamental
dans l’apparition de la turbulence, que la viscosité est la plus efficace. Il apparaît alors