Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

2.2 Structure interne 45
à des fermions à l’équilibre, ces deux systèmes ont en commun l’existence d’une surface
de Fermi séparant (à température nulle dans l’espace des impulsions) les états occupés
des états libres. Le résultat principal de la théorie des liquides de Fermi, développée par
Landau, est la démonstration de la possibilité de travailler avec comme objets fondamentaux
non pas les particules originelles mais les quanta - ou pseudo-particules - créés lors
d’une excitation de la mer de Fermi, nom donné au fondamental du système. Ces quasiparticules
portent souvent par abus de langage le même nom que les particules initiales (il
en est ainsi des neutrons et des protons dans une étoile à neutrons), mais leur masse est
différente. Le grand avantage mis en évidence par Landau est que, près de la surface de
Fermi, on peut traiter ces particules comme un gaz parfait sans interaction avec la mer 1 .
En utilisant l’égalité de l’énergie de Fermi et du potentiel chimique, on peut alors écrire
localement (|p − pF | ≪ pF ) la relation de dispersion 2
E − µ = vF (p − pF ) (2.11)
qui est une version linéarisée d’une relation globale inconnue E = E[p], où l’on a introduit
la vitesse de Fermi
vF = ∂E
∂p . (2.12)
p=pF
La théorie BCS repose sur l’hypothèse de l’existence d’un état fondamental du type
mer de Fermi et tel que, lorsque la température est inférieure à une valeur critique, il y
ait une faible attraction entre des quanta du liquide situés près de la surface de Fermi et
ayant des impulsions opposées. Puisqu’il intervient ainsi une énergie potentielle négative,
on comprend qu’il existe un problème variationnel pour minimiser l’énergie totale du
fait de la compétition entre cette énergie et la contribution cinétique positive. On peut
d’ailleurs démontrer que, si une telle interaction attractive agit, le fondamental ne correspond
plus à un vide de quanta d’excitation, même à température nulle. En revanche, une
transformation de Bogolioubov appropriée permet de réécrire ce fondamental comme un
état vide de paires et d’anti-paires, équivalents des trous dans les conducteurs. Ces paires
sont formées de quasi-particules fermioniques qui obéissent à la relation de dispersion
E − µ = − δ 2 + η 2 pour p < pF et E − µ = δ 2 + η 2 pour p > pF , (2.13)
où δ est nommé gap (supposé ≪ µ) et η = vF (p − pF ). Ce gap dans la relation de dispersion
joue le rôle de paramètre d’ordre (il dépend donc, entre autres, de la température)
et traduit le fait que la brisure de paires de Cooper nécessite de l’énergie. Par ailleurs,
ces équations permettent de comprendre immédiatement l’un des principaux effets de la
superfluidité : le gap réduit considérablement l’espace des phases disponible près de la surface
de Fermi. Or, c’est là que, pour un liquide de Fermi à température très basse, prend
1 C’est ce qui se passe pour les électrons de conduction dans un métal où le phénomène d’écrantage de
l’interaction coulombienne joue un rôle fondamental.
2 Toutes les formules précédentes et celle-ci sont rigoureusement valables dans le cas où l’énergie est bien
isotrope. Si ce n’est pas le cas, comme dans certains solides, le formalisme subit de légères modifications
et des dérivées vectorielles apparaissent à la place des dérivées scalaires.