Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 69
Lorsque l’intervalle [a, b] est [0, +∞[, comme c’est le cas dans les intégrales à calculer
ici, on utilise généralement les polynômes de Laguerre (avec la mesure w[x] = x p exp[−x],
p étant un entier) et la méthode est dite quadrature de Gauss-Laguerre. Néanmoins,
de tels calculs se sont révélés ne pas converger lorsque les paramètres ξ ou v devenaient
trop grands. On a ainsi vérifié que, même pour des gaps tendant vers 0, le résultat ne
convergeait pas vers 1 mais restait inférieur 1 si les valeurs prises par v étaient trop importantes.
On observait d’ailleurs, à ξ infinitésimal fixé, la décroissance de l’intégrale
pour v tendant vers +∞. Ce problème était lié au fait que, pour des points de colocation
très “éloignés”, les valeurs de la fonction en ces points pouvaient être extrêmement
grandes (∼ 10 200 ) alors que les poids devenaient extrêmement petits (∼ 10 −200 ), leurs
produits donnant cependant des contributions non négligeables, mais sur lesquelles les
erreurs numériques étaient croissantes.
La méthode employée ensuite fut donc de chercher, pour ξ et v fixés, des intervalles
bornés tels que l’erreur faite en restreignant l’intégration à ce domaine fini soit
négligeable 2 . Typiquement, une intégrale du genre (2.62) devient
avec
et
H n [ξ, yn, 0] =
bν[ξ,vn]
0
dxν x 2 ν
bn[ξ,vn]
0
dxn
×{fF [zn] G[xν − ξ − zn] + fF [−zn] G[xν − ξ + zn]
− fF [zn] G[xν + ξ − zn] − fF [−zn] G[xν + ξ + zn]}
(2.74)
bν[ξ, vn] = 10 (ξ + vn + 10) (2.75)
bn[ξ, vn] = 10 ξ + √ 2 vn + 10
(2.76)
qui sont des expressions jugées plus que prudentes par une rapide estimation analytique.
Une fois de telles bornes fixées, le calcul se ramène à celui d’une intégrale sur [a, b] borné
et les polynômes à utiliser sont ceux de Legendre ou de Chebyshev. Le choix retenu fut
celui des polynômes de Legendre.
Cette façon de procéder a donné des résultats qui semblaient convenables puisque,
même pour des valeurs de l’écart à l’équilibre chimique adimensionné ξ supérieures à 10 4
avec un gap adimensionné vn tendant vers 0, l’intégrale valait 1 ± 10 −6 pour un temps
de calcul très raisonnable 3 . Néanmoins, dès que l’on s’éloignait du domaine du plan où
la formule asymptotique s’applique, plusieurs contrôles ont été faits. On a ainsi testé la
convergence pour des nombres de points de colocation croissants puis utilisé une autre
méthode de calcul d’intégrales. La seconde méthode employée doit beaucoup à Kseniya
1 même pour de très nombreux points de colocation.
2 Un changement de variables afin de compactifier le domaine d’intégration a également été essayé. Mais
les fonctions à intégrer devenaient alors encore plus “pathologiques” et cette piste a donc été abandonnée.
3 quelques minutes pour plusieurs centaines de points dans le plan (ξ, vn).