Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

148 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
le choix de coordonnées du type sphérique, x 1 = r et x 2 = ϑ, est naturel et est retenu par la
suite 1 [pour plus de détails, voir aussi Carter (1987) dans Carter & Hartle (1987)]. Dans
ce cadre, on rencontre principalement deux classes de coordonnées :
- les coordonnées quasi-isotropes pour lesquelles grϑ ≡ 0 et gϑϑ ≡ r 2 grr ;
- les coordonnées de rotation lente qui imposent grϑ ≡ 0 et gϑϑ ≡ gϕϕ/ sin[ϑ] 2 .
Comme cela a été expliqué au début du chapitre 4, malgré leurs vitesses de rotation
rapides, les étoiles à neutrons peuvent être considérées en rotation assez lente. En effet, le
seul critère pertinent pour parler d’une rotation rapide ou lente n’est pas la valeur absolue
de la vitesse angulaire, mais le rapport ε entre cette dernière et la vitesse de Kepler de
l’objet (voir aussi la section 2.3). Or, on a vu dans le chapitre 4 que, même pour les étoiles
à neutrons les plus rapides connues, ce rapport est inférieur à 1/3. Il est donc légitime, en
première approximation, de linéariser les équations vis-à-vis de ce paramètre ε, ou bien,
de manière équivalente, en fonction de Ω. Cependant, en relativité générale comme en
physique newtonienne, ce qui provoque une déformation (par rapport à la sphère) d’une
étoile en rotation, ce sont les termes en Ω 2 . On note que ces termes traduisant la force
centrifuge sont bien indépendants du signe de Ω, comme on s’attend à ce que ce soit le
cas pour une déformation. Ainsi, si l’on se contente des équations obtenues au premier
ordre en Ω, les 2-surfaces du genre espace décrivant l’étoile à t et r fixés sont des sphères
pour lesquelles on doit avoir la relation gϑϑ ≡ gϕϕ/ sin[ϑ] 2 , ce qui justifie l’expression “coordonnées
de rotation lente” pour le deuxième type de coordonnées. Néanmoins, il existe
une approximation qui permet l’emploi de coordonnées étant à la fois quasi-isotropes et
du type de la rotation lente. Mais cette approximation conforme (ou de Isenberg-
Wilson-Mathews) est définie de manière plus naturelle lorsqu’on l’introduit dans le
cadre de la décomposition dite 3+1 des équations de la relativité générale, décomposition
déjà introduite dans le chapitre 4.
Sous des hypothèses liées au principe de causalité 2 , il est possible de décomposer
l’espace-temps E sous la forme d’une réunion continue d’hypersurfaces (Σt)t ∈ R du genre
espace
E =
Σt, (5.8)
t∈R
où t est la coordonnée temporelle qui paramètre la famille. Un système de coordonnées
global pour l’espace-temps est donc obtenu par la donnée de coordonnées (x1 , x2 , x3 )
sur chacune des hypersurfaces. Par cette décomposition la symétrie spatio-temporelle
relativiste semble perdue, mais il est ainsi assez aisé de formuler la relativité générale
de manière hamiltonienne [Voir Wald (1984) ou Misner et al. (1973)]. Or, la formulation
hamiltonienne d’une théorie permet :
1 On peut toutefois noter que les fonctions N, N ϕ et gϕϕ, pouvant être définies sans ambiguïté à
l’aide des seuls vecteurs de Killing e0 et e3 [voir Bonazzola et al. (1993)], sont en fait indépendantes des
coordonnées x 1 et x 2 adoptées.
2 Il s’agit grossièrement de l’existence d’une structure hyperbolique de l’espace-temps qui assure la
possibilité de définir un problème de Cauchy pour les équations de la relativité générale. Voir par exemple
Wald (1984) pour plus de détails.