Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

146 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
5.1 Etoiles relativistes en rotation
5.1.1 Etoiles statiques et équations de Tolman-Oppenheimer-
Volkoff
La configuration la plus simple que l’on puisse envisager pour une étoile relativiste est
celle où, en plus d’être supposée à l’équilibre thermodynamique, chimique et mécanique,
l’étoile est considérée sans rotation 1 . Afin de résoudre les équations d’Einstein (1.10) à
l’aide de ces hypothèses et de la symétrie sphérique associée, on pose souvent la métrique
sous la forme 2
gµν dx µ dx ν = = −N 2 c 2 dt 2 + A 2 dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ), (5.1)
où les fonctions N et A sont les inconnues gravitationnelles. Ce système de coordonnées,
dit de Schwarzschild, est tel que dans le cas stationnaire on ait N = N[r] et A = A[r].
Par analogie avec la métrique de Schwarzschild, on introduit parfois m[r] et ϕ[r] vérifiant
A[r] = 1 − 2GN m[r]
c2 −1/2 (5.2)
r
et
ϕ[r]
N[r] = exp
c2
. (5.3)
Par ailleurs, comme cela a déjà été mentionné dans la section 2.2.1, l’hypothèse de
matière froide catalysée (équilibre thermique et chimique) se traduit alors par le fait que
l’équation d’état effective à utiliser est barotrope. Ainsi, l’introduction des fonctions 3 m et
ϕ ainsi que la modélisation de la matière par un fluide parfait de tenseur énergie-impulsion
de la forme T µν = (ρ + P ) U µ U ν /c 2 + P g µν (où P est la pression, ρ la densité d’énergie
telle que ρ = n c 2 avec n densité de masse - toutes définies dans le référentiel du fluide -
et U la quadrivitesse de ce même fluide) ramènent la résolution des équations d’Einstein
à celle du système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
dm
[r]
dr
=
ρ[r]
4 π r2
c2 dϕ
[r]
dr
=
1 −
(5.4)
2GN m[r]
c2 −1
GN m[r]
r
r2 + 4 π GN P [r]
r c2
(5.5)
dP
[r]
dr
=
1
dϕ[r]
− (ρ[r] + P [r]) ,
c2 dr
(5.6)
1 On néglige ici et par la suite l’existence d’une structure globale supplémentaire induite par des champs
à longue portée qui ne se limiteraient pas à influencer l’équation d’état de la matière nucléaire. On peut
citer, comme exemples de sources d’une telle structure, l’existence d’un champ magnétique [voir Bocquet
et al. (1995)] ou celle d’une éventuelle charge scalaire [voir par exemple Novak (1998)].
2 Afin de mettre en évidence les termes usuels qui subsistent à la limite newtonienne, c → +∞, le
système d’unités employé est momentanément tel que les constantes GN et c ne sont plus égales à l’unité.
3 dont les noms ne sont pas anodins, puisqu’à la limite newtonienne, m[r] est égale à la masse contenue
dans la sphère de rayon r et ϕ[r] au potentiel gravitationnel au point de rayon r.