Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

152 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
métrique (et autres profils) retenus sont des interpolations sous formes de combinaisons de
polynômes de Tchebychev des coefficients calculés numériquement, et l’écart relatif entre
ces interpolations et les valeurs calculées est inférieur à 1%, ce qui justifie bien l’utilisation
de l’approximation conforme dans les équations hydrodynamiques linéarisées. Par ailleurs,
la rotation lente autorise à réécrire la solution (5.17) sous la forme simplifiée
U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
N[r]
1
0
0
Ω
(5.19)
Pour définir la quadrivitesse perturbée, il reste suffisamment de liberté pour que la
tactique adoptée puisse être de chercher à obtenir des équations d’Euler relativistes assez
semblables aux équations newtoniennes. Pour cela, on peut ajouter à la vitesse (5.19) une
perturbation telle que l’on obtienne la vitesse totale
1 + dEU
0 [t, r, ϑ, φ]
2 U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
N[r]
N[r]
a[r]
N[r]
a[r]
Ω +
dEU r [t, r, ϑ, φ]
2 dEU ϑ [t,r,ϑ,φ]
N[r]
a[r]
r
2 dEU ϕ [t,r,ϑ,φ]
r sin[ϑ]
(5.20)
Dans cette expression, on a introduit les variables dEU r , dEU ϑ et dEU ϕ qui ne sont
pas les composantes contravariantes d’un 3-vecteur spatial, mais les composantes “ortho-
gonales” d’un tel vecteur. On peut ainsi définir
−→
W [t, r, ϑ, φ] =
et l’on a alors
Deux remarques s’imposent :
dEU r [t, r, ϑ, φ]
dEU ϑ [t, r, ϑ, φ]
dEU ϕ [t, r, ϑ, φ]
(5.21)
−→
W 2 = (dEU r ) 2 + (dEU ϑ ) 2 + (dEU ϕ ) 2 . (5.22)
- ces variables sont notées comme des perturbations eulériennes de la vitesse, mais la
définition précédente reste valable et pertinente même dans une étude non-linéaire 1 ,
puisqu’elle permet de se “débarrasser” des termes provenant de la configuration
d’équilibre ;
- dEU 0 [t, r, ϑ, φ] n’est pas une véritable variable dynamique, mais se déduit de la condition
de normalisation de la quadrivitesse U · U = −1.
1 qui sera très probablement faite par la suite, la valeur de l’amplitude de saturation non-linéaire des
modes inertiels étant un point fondamental à connaître pour pouvoir juger de leur intérêt pour l’émission
d’ondes gravitationnelles.