Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne 85
Dans cette écriture, les fonctions S et H paramètrent la partie sphéroïdale et les fonctions
T la partie toroïdale. Pour un couple de nombres quantiques (l, m) donné, le terme
sphéroïdal a une parité 1 (−1) l et le terme toroïdal une parité (−1) l+1 . Avant de discuter
un peu plus en détails des réalisations physiques de ces modes qui mettent en évidence
l’utilité d’une telle décomposition, il est intéressant d’en signaler une autre qui est utilisée
par la suite. Elle découle du théorème de Helmholtz [voir par exemple Morse & Feshbach
(1953)] qui stipule que, sous certaines conditions assez peu restrictives, un champ vectoriel
peut toujours être écrit de manière unique comme la somme d’un champ de divergence
nulle et du gradient d’un champ scalaire. Cette séparation est employée dans la résolution
numérique des équations hydrodynamiques présentée dans Villain & Bonazzola (2002),
article qui est le chapitre 4 de la thèse.
Comme cela a déjà été signalé, plus la physique incluse dans le modèle considéré sera
riche, plus les calculs seront complexes et les modes possibles nombreux. Afin de décrire
les principaux modes d’oscillations d’une étoile à neutrons, on va commencer par supposer
qu’une étoile à neutrons est un objet froid (voir chapitre 2), à l’équilibre chimique et donc
décrit par une équation d’état barotrope (ou isentrope) du type P = P [n] où P est
la pression et n la densité de masse 2 . Par ailleurs, la rotation de l’étoile est initialement
négligée et sera introduite dans la section 3.3. Avec ces hypothèses :
- l’étoile est parfaitement sphérique ;
- il n’existe que des modes polaires, et les oscillations toroïdales (ou axiales) ont des
fréquences nulles et correspondent à des variations eulériennes ou lagrangiennes
nulles de pression, densité et potentiel gravitationnel. De tels modes ne sont donc
pertinents que si l’on autorise l’existence d’un champ magnétique, d’une structure
partiellement cristalline ou d’une rotation de la configuration d’équilibre de l’étoile.
- la symétrie sphérique implique une dégénérescence des fréquences. Ainsi, il existe 2 l +1
modes ayant la même fréquence pour une valeur du nombre quantique l donnée,
puisque l’on a m ∈ [−l, l].
- on observe un mode dit fondamental 3 caractérisé par l’absence de mouvement radial et
le fait que le vecteur propre associé ne possède pas de nœud à l’intérieur de l’étoile.
Par ailleurs, le mode f est le seul mode possible pour une étoile de densité uniforme,
il dépend assez peu des détails de la structure interne, et on peut donc dire que son
existence est liée à celle d’une interface entre l’étoile et son environnement. Pour
une étoile newtonienne de densité uniforme, on obtient (en unités c = GN = 1) la
1 On rappelle que la parité est la symétrie (primordiale en physique des particules) définie par la
composition d’une réflexion orthogonale par rapport à un plan et d’une rotation axiale d’angle π autour
d’un axe orthogonal au plan de réflexion. Un champ scalaire invariant sous une telle transformation est
dit “de parité +1” et un champ devenant de signe opposé est dit “de parité −1”.
2 Dans le cas relativiste, il suffit de remplacer la densité de masse par la densité baryonique et de
supposer que cette densité et la pression sont mesurées dans le référentiel du fluide.
3 La nomenclature des modes a été introduite par Cowling (1941) et leurs noms reposent sur les forces
de rappel qui en sont responsables.