Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 161
Comme cela a déjà été expliqué, le terme dérivant de l’enthalpie n’apparaît pas en
dehors des équations d’Euler, et les algorithmes décrits dans l’appendice B (avec l’approximation
anélastique) sont tels qu’il n’obéit à aucune équation dynamique et joue un
rôle secondaire. Néanmoins, une équation supplémentaire décrivant la dynamique de dLnb
est nécessaire. Cette équation est assez simple à obtenir, puisqu’il suffit pour cela de traduire
le fait qu’au cours du mouvement la composition est gelée. En effet, cette condition
s’écrit
£U xp = 0 , (5.71)
où £ est la dérivée de Lie (voir la section 3.2.2).
Or, la version linéarisée de cette équation, la relation (3.41) reliant le quadridéplacement
lagrangien avec la quadrivitesse, la définition (5.20) de la quadrivitesse totale et l’approximation
anélastique (5.30) permettent alors d’écrire cette relation sous la forme d’une
équation d’advection linéarisée quasinewtonienne
(∂t + Ω ∂ϕ) dLnb =
N 2
a 2
−→
W · ∇nb , (5.72)
dans laquelle N et a sont respectivement le lapse et le facteur conforme.
Avec cette dernière équation dynamique, il ne manque plus que la donnée de l’équation
d’état P = P [nb, xp] pour que le système soit complet (à des conditions aux limites près).
5.2.3 Equation d’état non-barotrope de PAL
Le chapitre 2 a essayé de donner un aperçu de la complexité qu’il pouvait y avoir
à obtenir une équation d’état décrivant la matière nucléaire dans les étoiles à neutrons.
Cependant, si l’on veut pouvoir étudier non plus des configurations d’équilibre, mais la
dynamique de ces objets, le problème est bien plus difficile. En effet, dans le calcul de la
configuration stationnaire, on utilise l’hypothèse de matière froide catalysée et on suppose
ainsi que toutes les réactions possibles sont à l’équilibre. Or, lorsque la dynamique est en
jeu, ces divers équilibres peuvent être rompus, et l’on a besoin d’équations d’état obtenues
sans hypothèses d’équilibre, ou au moins, en première approximation, de coefficients de
transports. Le chapitre 2 a expliqué que, pour la matière npe, diverses études de physique
nucléaire ont montré que l’on peut écrire l’énergie par baryon pour la matière asymétrique
sous la forme
EN[nb, xp] = Eo nb, 1
+ S[nb] (1 − 2 xp)
2
2 , (5.73)
où le facteur S[nb] est dit énergie de symétrie et régit la valeur de la fraction protonique
à l’équilibre bêta (voir section 2.3.2).
Partant de ce résultat et des incertitudes qui subsistent pour la matière asymétrique,
Prakash et al. (1988) ont proposé, pour EN[nb, xp], une formule analytique dépendant de
plusieurs paramètres libres et qui :