Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

1.1 Relativité générale 9
La relativité générale ne fut que la première d’une longue liste de théories relativistes
de la gravitation. Cependant, à ce jour, elle a passé avec succès de nombreux tests qui
ont également permis de rejeter définitivement plusieurs de ses rivales. Par ailleurs, les
énergies mises en jeu dans la physique des étoiles à neutrons étant loin des domaines où
l’on peut être certain qu’elle ne s’applique plus 1 , il ne sera ici question que de la relativité
générale [comme exemple d’étude sortant de son cadre, on peut consulter Novak (1998)
sur la physique des étoiles à neutrons en théorie tenseur-scalaire de la gravitation].
1.1.2 Cadre mathématique
Le modèle mathématique 2 de l’espace-temps E que considère la relativité générale
est celui d’une variété pseudo-riemanienne (M, g) de dimension 4. Toute l’information
concernant le champ de gravitation est supposée être contenue dans la métrique g,
tenseur symétrique non-dégénéré de rang (0,2) et de signature lorentzienne 2. Ce tenseur
permet d’effectuer des mesures de distance spatio-temporelle, vérifie le principe
d’équivalence 3 et définit un produit scalaire sur l’espace tangent. Etant donnés deux points
(ou événements) de E séparés par un intervalle infinitésimal dx µ dans un certain système
de coordonnées, la distance entre ces points est
ds 2 = gµν dx µ dx ν , (1.6)
où les gµν sont dites composantes covariantes de la métrique par rapport à la base
naturelle (duale) associée au système de coordonnées. Le fait qu’il n’existe pas d’observateurs
privilégiés se traduit par l’invariance de cette distance et des lois de la physique
sous des changements de coordonnées quelconques. Ceci généralise bien la relativité restreinte,
puisque le groupe local d’invariance n’est alors plus seulement le groupe de Lorentz
O(3, 1) mais GL(4, R), celui des matrices réelles 4 × 4 inversibles. Par ailleurs, le principe
d’équivalence d’Einstein suppose que l’on peut toujours localement oublier la gravitation
par un changement de coordonnées approprié. En tout point p de E, il existe donc une
classe de systèmes de coordonnées dans laquelle on a
et
avec cependant
si un champ de gravitation existe.
gµν[p] = ηµν
(1.7)
∂αgµν[p] = 0 , ∀α (1.8)
∃(α, β), ∂α∂βgµν[p] = 0 (1.9)
1 19 par exemple à l’échelle de Planck (∼ 10 GeV), où une théorie quantique de la gravitation devient
nécessaire.
2Voir appendice A pour plus de détails sur les définitions qui suivent.
3Ces deux conditions font que la relativité générale appartient à la catégorie des théories relativistes
de la gravitation dites métriques.