Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes 175
Une fois définie cette structure de champ vectoriel sur M, on généralise de la même
façon que pour R n les notions de covecteurs (élément de T ∗ M = T1) et de tenseurs
d’ordres (p,q) quelconques (élément de T M p × T ∗ M q = T p q ), puis celle de champs
tensoriels, qu’il faut cependant encore enrichir pour pouvoir comparer des vecteurs connus
en différents points de M. Cette comparaison n’est en effet pas immédiate dans le cas
d’une variété.
⋆ On appelle connexion affine l’application ∇ de T M × T M dans T M qui vérifie
∀X, Y, Z ∈ T M 3 , ∀f ∈ F[M],
∇f·Y +ZX = f · ∇Y X + ∇ZX
∇X (f · Y + Z) = X[f] · Y + f · ∇XY + ∇XY.
⋆ Les tenseurs de torsion T et de courbure R d’une connexion ∇ donnée se définissent,
∀X, Y, Z ∈ T M 3 , par
T [X, Y ] = ∇XY − ∇Y X − [X, Y ]
R[X, Y ]Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ]Z.
Ces tenseurs de torsion et de courbure sont ceux qui permettent de dire si une variété
est plate ou non selon la connexion utilisée. Par ailleurs, en imposant à la connexion affine
certaines propriétés de compatibilité avec le produit tensoriel, on peut la généraliser à tous
les types de tenseurs et introduire une opération de dérivation commune.
⋆ La dérivation covariante D associée à la connexion affine ∇ est définie par
∀X ∈ T M, ∀A ∈ T p q , < DA, X > = ∇XA ,
où désigne l’opération de contraction tensorielle.
Etant donnée ces notions de connexion et de dérivation, on peut transporter des vecteurs
le long de courbes pour les comparer.
⋆ Une géodésique est une courbe transportée parallèlement à elle-même, ce qui signifie
que la dérivation covariante de son vecteur tangent par rapport à lui-même est nulle.
Cette notion généralise donc celle de ligne droite, mais les notions de distances et
d’angles étant fondamentales en relativité, celles-ci restent à introduire pour arriver enfin
à l’espace-temps de la relativité générale.
A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes
⋆ Une métrique g sur une variété M est un champ de tenseur de rang (0,2) symétrique
et non-dégénéré :
∀X, Y ∈ T M 2 , g[X, Y ] = g[Y, X] ∈ R , (∀Y ∈ T M, g[X, Y ] = 0 ) → X = 0 .