Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

5.1 Etoiles relativistes en rotation 149
- de quantifier plus facilement cette même théorie (bien que dans le cas de la gravitation
l’histoire est loin d’être terminée) ;
- d’écrire les équations différentielles à l’aide d’opérateurs temporels du premier ordre.
Ce second point est le plus important en relativité numérique, puisque des dérivées
d’ordres inférieurs sont toujours souhaitables dans ce contexte. Ainsi, dans ce formalisme,
l’espace est considéré comme une variété de dimension 3 ayant une courbure interne
(décrite par hij, restriction de gµν sur Σt) mais aussi externe, dont les évolutions temporelles
1 sont gouvernées par les équations d’Einstein. Cependant, puisque dans le travail
présenté ici l’espace-temps a toujours été considéré comme “gelé” (approximation de Cowling
forte : dEgµν ≡ 0), il n’est pas vraiment nécessaire d’entrer trop dans les détails de
ce formalisme.
Les objets dont les définitions sont utiles ici sont donc tout d’abord le (co)vecteur
unitaire n orthogonal aux hypersurfaces :
n = − N ∇t , (5.9)
où l’on a introduit le lapse N, scalaire positif permettant la normalisation 2 n · n ≡ −1
de n et traduisant la “dilatation temporelle” que perçoit un observateur de quadrivitesse
n par rapport à la coordonnées t. n étant un champ de norme −1 orthogonal aux
hypersurfaces, on définit le projecteur h sur ces dernières par
h = g + n ⊗ n , (5.10)
où g est le tenseur métrique quadridimensionnel et ⊗ le produit tensoriel. On peut montrer
que h est la métrique induite sur les hypersurfaces et permet donc de mesurer des
intervalles de longueur purement spatiaux. On décompose alors le vecteur e0 = ∂t en sa
composante appartenant à Σt et sa composante normale à cette même surface 3 . On introduit
alors le vecteur shift (voir la figure 5.1 pour une illustration à une dimension
spatiale)
N = − h · e0, (5.11)
qui permet d’écrire
e0 = N n − N . (5.12)
Par rapport aux coordonnées (t, x 1 , x 2 , ϕ) précédemment définies, on a donc
nµ = (−N,0) et Nµ = (0, g01, g02, Nϕ = g0ϕ) , (5.13)
1 La décomposition introduite sépare les équations d’Einstein en deux groupes : des équations
d’évolution temporelle, mais aussi des contraintes hamiltoniennes, de manière analogue à ce qu’il se
passe pour les équations relativistes de Maxwell lorsqu’elles sont écrites non plus pour le tenseur Fµν
mais pour les champs électriques et magnétiques.
2 Cette normalisation est liée au choix de signature et permet que n soit une quadrivitesse.
3 Toute cette présentation du formalisme 3 + 1 ne suppose absolument pas l’existence de vecteurs de
Killing.