Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

84 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
- le formalisme lagrangien conduit assez facilement à une formulation variationnelle qui
s’avère utile pour obtenir des quantités conservées et mettre en évidence des critères
d’existence d’instabilité (voir section 3.2.3) ;
- pour faire des évolutions temporelles numériques (telles celles présentées dans les chapitres
4 et 5), la formulation eulérienne semble plus simple puisqu’elle fait intervenir
des dérivées temporelles d’ordres inférieurs.
3.1.3 Modes d’oscillations newtoniens d’une étoile
Indépendamment du formalisme adopté, il est utile de décomposer les variables retenues
dans les calculs sur des bases de fonctions adaptées à la géométrie. Ainsi, dans le
cas d’un fluide à géométrie sphérique, la décomposition naturelles de fonctions scalaires,
telles que la perturbation de la pression, est de la forme
f[r, ϑ, ϕ, t] =
flm[r, t] Ylm[ϑ, ϕ], (3.21)
lm
où les Ylm sont les harmoniques sphériques, fonctions propres de l’opérateur L2 défini
par
L 2 = − 1
sin ϑ ∂ϑ (sin[ϑ] ∂ϑ) − 1
sin 2 [ϑ] ∂2 ϕ. (3.22)
On rappelle que les fonctions Ylm sont caractérisées par deux nombres quantiques
entiers l et m tels que m ∈ [−l , l], la valeur propre associée étant lp(l + 1). On a
Enfin, on peut démontrer l’égalité
L 2 Ylm[ϑ, ϕ] = lp(l + 1)Ylm[ϑ, ϕ]. (3.23)
Ylm[ϑ, ϕ] = (−1) m
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)!
1/2 Plm[cos ϑ] e i m ϕ , (3.24)
où les Plm sont les fonctions de Legendre associées. Pour plus de détails voir par
exemple Morse & Feshbach (1953).
Lorsque l’on décompose un vecteur, il y a évidemment a priori trois degrés de liberté
indépendants. On peut ainsi introduire la séparation entre les parties sphéroïdales1 et
toroïdales du vecteur [voir par exemple Cox (1980)]
v[r, ϑ, ϕ] = r
Slm[r], Hlm[r]∂ϑ,
lm
Hlm[r]
sin ϑ ∂ϕ
Ylm[ϑ, ϕ] + (3.25)
r
0, Tlm[r]
sin ϑ ∂ϕ,
−Tlm[r]∂ϑ Ylm[ϑ, ϕ] .
lm
1 Dans la communauté relativiste, on parle plutôt de parties polaire et axiale.