Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

80 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
où δij est le symbole de Kronecker et P la pression thermodynamique. Lorsque le fluide
est proche de cet équilibre, la loi de comportement linéarisée par rapport à la vitesse est
dite newtonienne et peut s’écrire
σij ≡ −P δij + 2 η
∂(i v j) − 1
3 (∂kv k ) δij
+ ζ (∂kv k )δij
(3.4)
avec A(ij) = 1
2 (Aij + Aji). η est nommée viscosité dynamique de cisaillement et ζ
viscosité dynamique volumique.
Si l’on écrit de manière vectorielle ces équations, on aboutit aux équations de Navier-
Stokes
n ∂t
V + V · ∇
V + ∇P = (3.5)
∇ ∇η · V
+
∇ ∧ V ∧ ∇η + η∆ V − V ∆η + ζ
η
∇ + ∇ · V
+ 3
Fex ,
où les opérateurs spatiaux ont les définitions usuelles, ∆ étant le Laplacien, ∇ l’opérateur
gradient, ∇· la divergence, · le produit scalaire, ∧ le produit vectoriel et Fex la somme des
forces extérieures volumiques. Si l’on néglige les termes dissipatifs (ceux provenant de la
viscosité), on parle d’équation d’Euler.
A cette équation vectorielle qui décrit la conservation de l’impulsion, il convient d’ajouter
au moins une équation d’état reliant la pression aux autres grandeurs (dont la densité
de masse) et une équation traduisant la conservation de la masse
∂t n + ∇ · (n V ) = 0. (3.6)
Pour finir de compléter ce système, viennent ensuite diverses autres équations dont le
nombre et la nature dépendent des ingrédients physiques introduits. Ainsi, il y a parfois
une équation régissant le transport thermique 1 , et dans le cas d’un objet auto-gravitant,
Fex inclut une force gravitationnelle tandis que le système total comprend l’équation de
Poisson de la gravitation
∆ U = 4π GN n, (3.7)
où U est le potentiel gravitationnel.
Finalement, pour que l’ensemble soit mathématiquement bien défini, il ne reste plus
qu’à ajouter des conditions aux limites et initiales. Cependant, contrairement à ce que l’on
pourrait croire, l’existence de solutions de ces équations est loin d’être triviale à démontrer,
même dans le cas simplifié où le fluide est supposé incompressible (n ≡ constante), ce
qui permet d’écrire l’équation de conservation de la masse sous la forme ∇ · V = 0.
1 Ce ne sera pas le cas pour l’hydrodynamique d’une étoile à neutrons puisqu’un tel objet est froid.
Voir chapitre 2.