Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

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66 Etoiles à neutrons Processus Murca Le cas des processus Murca hors équilibre avec superfluidité est bien plus riche et complexe. En effet, pour chacun des types de superfluidité possibles, il existe deux branches à considérer. Par ailleurs, du fait de la présence d’un plus grand nombre de nucléons, les intégrales à calculer sont d’ordres supérieurs. Quoiqu’il en soit, le principe de la méthode reste le même que dans le cas des réactions Durca. Ainsi, l’équation (2.49) est remplacée par et avec ∆Γ i Mp = ∆ΓM0 I i Mp [ξ, vn, vp] = ∆ΓMp R i Mj [ξ, vn, vp] (2.63) ∆Γ i Mn = ∆ΓM0 I i Mn [ξ, vn, vp] = ∆ΓMn R i Mj [ξ, vn, vp] (2.64) R i Mj [ξ, vn, vp] = Ii Mj [ξ, vn, vp] IM[ξ] (2.65) et j indice désignant la branche (n ou p). Comme pour les réactions Durca, si T est plus grande que les deux températures critiques, on a Ri Mj [ξ, vn, vp] = Ri [ξ, 0, 0] = 1 et si T Mj est plus petite que l’une ou l’autre de ces températures Ri Mj [ξ, vn, vp] < 1. On obtient alors I i Mj [ξ, vn, vp] = 4π × δ 5 j=1 pj AM δ 5 dΩj j=1 xν − ξ − ∞ 5 j=1 0 zj dxν x 2 ν − δ 5 j=1 +∞ −∞ xν + ξ − dxj fj 5 j=1 zj , (2.66) où 5 j=1 dΩj est un élément global d’intégration angulaire et AM un terme angulaire qui normalise le résultat. De plus, une notation condensée a été introduite pour désigner les particules dans leur ensemble (exceptés les neutrinos). Ainsi, j appartenant à [1 .. 4] désigne respectivement les nucléons n, p, Ni, Nf et j = 5 est l’électron. Les variables usuelles zj (qui dépendent des xj et des gaps) ont aussi été utilisées pour tous les nucléons et les électrons, avec la convention que pour un nucléon non superfluide ou un électron zj = xj. Par ailleurs, fj est par définition égal à (e zj +1) −1 et le facteur 4π devant l’intégrale provient de l’intégration angulaire sur l’impulsion des neutrinos. Il est assez difficile de “pousser plus avant” le calcul analytique dans le cas général puisque les gaps dépendent, a priori, des différentes directions angulaires. De même, un calcul numérique sans aucune autre approximation peut lui-même être très long et difficile, puisque l’intégrale (2.66) est pour le moment du 16 ème ordre (6 variables énergétiques + 10 variables angulaires comme il n’existe plus la moindre symétrie de rotation). Cependant,
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 67 dans deux cas plus simples, des étapes analytiques supplémentaires peuvent être franchies et mènent à des intégrales au plus d’ordre 3. Ce sont les calculs pour - la branche neutronique avec superfluidité isotrope des protons (gap A) pour laquelle toutes les intégrales angulaires peuvent être effectuées [voir Shapiro & Teukolsky (1983)] ; - la branche protonique avec une superfluidité quelconque des neutrons. avec et où Dans le premier cas, la symétrie sphérique permet de se ramener à l’intégrale R pA Mn [ξ, 0, vp] = 1 g[ξ] H[x] = g[ξ] = ξ +∞ 0 367 π6 252 est la fonction de normalisation. avec Dans le deuxième cas, on a R nX Mp [ξ, vn, 0] = 1 1 dc g[ξ] 0 H[x] = +∞ 0 +∞ −∞ dxp fF [zp] (H[zp − ξ] − H[zp + ξ]) (2.67) ds s 2 s − x 2 2 (s − x) + 4π exp[s − x] − 1 1 + +∞ −∞ 189 ξ2 367 π 367 π 2 + 21 ξ4 1835 π 6 4 + 3 ξ6 (2.68) (2.69) dxn fF [zn] (H[zn − ξ] − H[zn + ξ]) (2.70) ds s 2 s − x 2 2 (s − x) + 4π exp[s − x] − 1 (2.71) et où c = cos[ϑ] apparaît dans la variable yn (et donc dans zn) qui dépend elle-même de vn. 2.4.4 Résultats numériques et perspectives Afin de pouvoir rendre compte des valeurs potentiellement observées de ξ (écart à l’équilibre chimique en unités de température) et vi (gap en unités de température) dans une étoile à neutrons, il est nécessaire de procéder à des évaluations des différentes intégrales précédentes dans un vaste domaine du plan (ξ, vi) ou de l’hyperplan (ξ, vn, vp). Dans un premier temps, les intégrales retenues sont celles pour lesquelles le domaine à explorer est de dimension 2. Si l’on se limite aux intégrales qui sont au plus triples, cela correspond donc aux processus Durca avec une seule sorte de nucléons superfluides, et aux cas particuliers de réactions Murca cités à la fin de la section précédente.
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Résumé Résumé v Cette étude tr
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Abstract Abstract vii This study de
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Introduction Les sens dont l’a do
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V r Sp(V r ) 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0
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