Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

150 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Nn t x
Σt+dt i= const
n
β
Σ t
Figure 5.1 – Décompositions selon le formalisme 3 + 1.
et si l’on écrit l’élément de longueur spatio-temporel ds 2 à l’aide de ces définitions, on
aboutit à
ds 2 = − N 2 − Ni N i dt 2 − 2 Ni dt dx i + hijdx i dx j , (5.14)
où les indices i et j sont spatiaux et varient de 1 à 3. Si l’on met cette écriture en parallèle
avec l’équation (5.7), on comprend aisément que les variables N et N ϕ employées
précédemment ne sont autres que le lapse et la composante contravariante selon ϕ du shift.
L’approximation introduite indépendamment par Isenberg & Nester (1980) [voir aussi
Isenberg (1977)] et par Wilson & Mathews (1989) est nommée approximation conforme,
puisqu’elle suppose que la partie spatiale de la métrique (hij donc) est conformément plate,
c’est-à-dire vérifie
h ≡ a η , (5.15)
où a est dit facteur conforme et η est la métrique plate de Minkowski. Supposer que
l’espace est conformément plat revient à “tuer” les ondes gravitationnelles. Cette remarque
pourrait faire penser que dans toute étude relativiste dont le but principal est
de contraindre des sources d’ondes gravitationnelles, cette approximation est malvenue.
Cependant, lorsque l’on cherche avant tout à caractériser la source elle-même, cette approximation
peut, au contraire, être très bonne dans un premier temps [voir par exemple
Isenberg (1977)]. En effet, c’est ici une sorte d’approximation “adiabatique”, puisque ce
que l’on néglige sont les conséquences, sur le système, de la perte d’énergie due à l’émission
de ces ondes. Mais le signal gravitationnel lui-même peut néanmoins être caractérisé par
l’emploi de formules du type de celle du quadrupôle.
Par ailleurs, Cook et al. (1996) ont montré que lorsque l’on étudie des configurations
stationnaires d’étoiles relativistes en rotation, l’approximation conforme est très bonne,
même pour des rotations très rapides d’objets très relativistes. Ainsi, si l’on utilise l’ap-