Syllabus 2009

Hiervoor komt de algebra voor het eerst om de hoek:5n−1PX ( = n)= ⋅ =( 5 n−) 1⋅ 1 ⋅5⋅ 1 5n−= ( ) 1 5 1( ) 16 66 6 56 6 5⋅ ⋅ = ( )5n16⋅5≈ 0, 2 ⋅ (0,833333) nIn cel C1 staat de som van de kansen uit kolom B. Dat dit een afronding is wordt door deleerlingen snel ingezien. Dat de geometrische verdeling te maken heeft met een meetkundigerij, waarvan de naam ook is afgeleid, wordt duidelijk als gevraagd wordt naar de som van alle∞1 1na∑ 5 6waarbij de somformule van de meetkundige rij S = =n=11−r 1−duidelijk maakt dat hier echt een kansverdeling met som der kansen = 1 is.1 5kansen: ⋅( )VerwachtingswaardeUit de experimentele data kunnen we halen dat hetgemiddeld 6,2 worpen heeft geduurd tot de eerste 6geworpen is.De verwachtingswaarde kun je in de spreadsheet op eenvoor de hand liggende manier benaderen.De algebraïsche aanpak ligt voor de leerlingen mindervoor de hand, maar heeft wel parallellen met de afleidingvan de somformule voor meetkundige rijen.n( 5 6⋅n)1 5De opdracht is om E= ⋅( )∞∑ te bepalen.n=1Hiervoor is in een klassengesprek het volgende afgeleid:1 5 1 521 531 541 555 6 5 ( 6) 5 ( 6) 5 ( 6) 5 ( 6)1 1( ( ) 2 1( ) 3 1( ) 4 1E 1 2 3 4 ( )55 .....)5253545556( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 .....E = ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ 3+ ⋅ ⋅ 4 + ⋅ ⋅ 5 + ..... en dan de list:⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =5 5 5 5 5 5 56 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +1 1 1 1 15 6 5 6 5 6 5 6 5 6Zet dit netjes onder elkaar en bepaal het verschil:2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )E = ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ 3+ ⋅ ⋅ 4 + ⋅ ⋅ 5 + .....1 5 1 5 1 5 1 5 1 55 6 5 6 5 6 5 6 5 65 1 521 531 541 551 566 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6E = ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 2 + ⋅ ⋅ 3 + ⋅ ⋅ 4 + ⋅ ⋅ 5 + ..... dus1 1 5 1 521 531 541 551 566 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6= = 16 65 16 6E = ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1+ ⋅ ⋅ 1 + ..... en daar kwam zojuist 1uit. Dus de verwachtingswaarde van een stochast met een geometrische verdeling metsucceskans 1 6is gelijk aan 6.Ten slotte nog de algemene aanpak. Het bepalen van de verwachtingswaarde van eengeometrisch verdeelde stochast met succeskans p .1P( X n) (1 p) n∞∞−1= = − ⋅ p dus ( ) ( ) (1 ) n −E X = ∑P x= n ⋅ n= ∑ − p ⋅ p⋅nn= 1 n=11−1 2−1 3−1 4−1 5−1E = (1 − p) ⋅p⋅ 1 + (1 − p) ⋅ p⋅ 2 + (1 − p) ⋅ p⋅ 3 + (1 − p) ⋅ p⋅ 4 + (1 − p) ⋅ p⋅ 5 + ... dusE = p⋅ + − p ⋅ p⋅ + − p ⋅ p⋅ + − p ⋅ p⋅ + − p ⋅ p⋅ +2 3 41 (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 4 (1 ) 5 ...Mens erger je niet!134Epi van Winsen