Syllabus 2009

Extra opgaveBeschouw de cirkels c1en c2met vergelijkingmet2 2a + b >1.2 2x + y =1 resp.Toon op twee manieren aan dat ze elkaar loodrecht snijden:1 met behulp van een rechttoe-rechtaan rekenintensieve methode2 2x y ax by+ −2 − 2 + 1=02 met behulp van een rekenzuinige, elegante methode, waarbij het oplossen vanvergelijkingen zoveel mogelijk vermeden wordt.Hoe ga je met ‘gekke output’ om?Een meer bedenkelijke reden waarom een CAS tot redeneren kan aanzetten, is de voor mensenvreemde output die het kan genereren, waardoor je op eigen hersenkracht een stukje verder moet. Ditontmoetten we in onze lessen bij de onderstaande opgave.De afgebeelde functie is van de vorm⎛ 6πx⎞f( x) = cos⎜ 22 ⎟⎝ + mx ⎠In het punt x = 1 heeft f(x) een nulpunt en bereikt f(x)ook een maximum.Bepaal de parameter m.Bereken vervolgens alle nulpunten van f(x) en alle puntenwaar f(x) een extreme waarde bereikt.Heeft f(x) een asymptoot? Zo ja, bereken deze asymptoot.Conceptueel is de opgave vrij elementair: we zoeken die waarde(n) van m waarvoor geldt⎧ f (1) = 0 (1)⎨⎩ f '(1) = 0 (2)en waarbij we achteraf controleren dat f ''(1) < 0 (3). Dit doen we achteraf omdat een CASniet sterk is in het oplossen van ongelijkheden.Helaas blijkt het stelsel, volgens een TI nspire, equivalent te zijn met een nonsensicaleoplossing.Meer wiskunde, minder rekenen26Pedro Tytgat en Hilde Eggermont