análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a ...

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As aproximações dadas pelas diferenças finitas podem ser rearranjadas de modo a caracterizarem os procedimentos: . + 1 = + Δ. = + Δ. ( ) explícito: xt ( ) xt ( ) tx xt ( ) tfxt ( ) i i i i i . . . ( ) implícito: xt ( ) = xt ( ) + Δtx = xt ( ) + Δtfxt ( ) i+ 1 i i+ 1 i i+ 1 109 (A.1.3) (A.1.4) No procedimento explícito, a descrição da função de interesse xt ( ) no instante ti+1, xt ( i+1 ) , é obtida com relação à derivada da própria função no instante ti (anterior). Já no procedimento implícito, xt ( i+1 ) é expressa em função da derivada da função no instante t i+1 (atual). Pelo fato de o procedimento explícito referir-se à derivada no instante de partida (ti), podem aparecer problemas de convergência, como será evidenciado para o caso geral no espaço tridimensional R 3 das tensões desviadoras obedecendo-se ao critério de Von Mises. O emprego deste procedimento pode levar a uma indeterminação das variáveis de estado caso o incremento de tensões ultrapasse determinados níveis, como podese observar graficamente na FIGURA A.1.1. solução para o procedimento explícito (equivocada) solução para o procedimento implícito FIGURA A.1.1 - Representação gráfica dos procedimentos de integração para o critério de Von Mises
Considere-se, inicialmente, a superfície de escoamento do critério de Von Mises representada pela hiperesfera de raio 2.R i e centro ‘O’, ao final do incremento ‘i’. Sobre essa superfície, tem-se o estado de tensões: σi ∂ σ ∈ em t t i E i = (A.1.5) e representado pelo ponto ‘A’. Neste ponto, o vetor normal à superfície é: ( σi ) σ() i r , q = f (normalidade) (A.1.6) Por ocasião do incremento de cargas ‘i + 1’, procura-se o estado de tensões que atenda ao modelo constitutivo adotado e promova o equilíbrio do elemento. A primeira tentativa na determinação do estado de tensões, σi+ ∈ ∂ σ 1 E i+ 1 110 em t = ti+1 , consiste em adotar o comportamento elástico linear do elemento sujeito a um campo de deslocamentos nodais, o que poderia conduzir ao estado de tensões: t 1 E i+ 1 (A.1.7) σi+ ∂ σ ∉ e representado pelo ponto ‘B’. A partir deste ponto, necessita-se fazer o retorno à superfície de escoamento encruada (expandida), através de um procedimento de integração do modelo constitutivo. A integração segundo um procedimento explícito, levaria ao estado de tensões: exp l. i+ 1 E i+ 1 σ ∂ σ ∈ (A.1.8) representado pelo ponto ‘C’, que é a intersecção entre a reta paralela ao vetor fσ( i) e a superfície de escoamento representada pela hiperesfera de raio 2.Ri+ 1 . A integração segundo um procedimento implícito levaria ao estado de tensões : impl. i+ 1 E i+ 1 σ ∂ σ ∈ (A.1.9) representado pelo ponto ‘D’, localizado na intersecção entre o segmento de reta que une os pontos ‘B’ e ‘O’ e a hiperesfera de raio 2.Ri+ 1 . Pode-se deduzir, entretanto, que o retorno do estado de tensões oriundos da tentativa em regime elástico linear para a superfície de escoamento, deve corresponder à minimização da norma energia envolvida neste retorno. Isso corresponde a afirmar que o retorno à superfície de
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