PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

Ver detalhes da prova em [6, teorema 3.1].
Portanto, a função de Liapunov candidata apresenta uma derivada com respeito ao
tempo negativa definida e o algoritmo só se estacionará no ponto onde ∇φ(x) = 0, isto
é, no mínimo global x ∗ , caso este se encontre no ortante não negativo.
A desvantagem deste algoritmo consiste em que se o objetivo for achar o mínimo
global da função escalar φ(x), este deve se encontrar no ortante não negativo R n +, e será
alcançado por qualquer trajetória iniciada no ortante positivo R n ++ . Caso contrário,
as trajetórias que começam no ortante positivo convergirão ao ponto mínimo dentro
ou no limite deste ortante. Este caso pode se considerar como um caso particular
de resolução de um problema de otimização convexa, consistente em minimizar uma
função objetivo escalar convexa sujeita a restrições de desigualdade afins, que seriam
os limites inferiores das variáveis de estado iguais a zero.
min
φ(x)
s.t. x i ≥ 0 ∀i ∈ {1, .., n}
3) Terceira escolha
Observe-se que outras funções de ganho variável podem ser utilizadas como controlador
LVR, sempre que a matriz de ganho do controlador Ψ(x) seja positiva definida.
Por exemplo, a função ψ(x) = − ∑ n
i=1 log x i, tem uma inversa do hessiano igual a
∇ −2 ψ(x) = diag (x 2 i ) para todo i ∈ {1, .., n}. Esta matriz é positiva semi-definida, e só
toma o valor zero em x = 0. Portanto, cada componente do vetor de atualização das
variáveis, ẋ i (t), só tomará o valor zero em x i = 0, ou em ∇ i φ(x) = 0, isto é, em x ∗ i .
Portanto, a trajetória só pode se estacionar em um ponto x tal que x i = 0 ou x i = x ∗ i
para todo i ∈ {1, .., n}.
Isto implica que se o mínimo da função, x ∗ , estiver no mesmo ortante (ou no limite)
que x 0 , o algoritmo será convergente. Caso contrário, a trajetória convergirá ao valor
mínimo da função dentro (ou no limite) do ortante da posição inicial, podendo ser
considerado este também um problema particular de otimização convexa.
Portanto, o sistema gradiente descendente com este ganho seria assintoticamente
estável para esta condição inicial particular.
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