PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

5.3.1 Função de erro
A resolução do problema (5.7), VI(f, χ), supondo a existência única de solução, pode
ser descrito também como o problema de encontrar x ∗ ∈ χ tal que
x ∗ = Pr χ [x ∗ − f(x ∗ )] (5.15)
ou, equivalentemente, a achar o ponto zero da função de resíduo ou erro definida em
[53], [54] e [72], entre outros, como
e(x) := x − Pr χ [x − f(x)] (5.16)
Em [38] e [74] esse erro é definido como
e(x, β) := x − Pr χ [x − βf(x)] (5.17)
para algum β > 0, sendo portanto e(x) = e(x, 1). Este resíduo ou erro pode ser
visto como uma distância entre um ponto x e a solução única do problema x ∗ . Por
tal motivo, podem ser utilizados como critérios de parada de um algoritmo contínuo
destinado a resolver (5.7)
‖e(x)‖ ∞ ≤ ǫ ou
‖e(x)‖ ∞
‖e(x(0))‖ ∞
≤ ǫ
para alguma constante ǫ > 0 arbitrariamente pequena. Em [54, Lema 3] e [26, p.
78], demonstra-se que o erro assim definido é Lipschitz contínuo no conjunto viável se
também o for a função objetivo.
5.3.2 Propriedades da função de erro
As seguintes 4 desigualdades foram adaptadas de [53].
a) Desde que Pr χ [x − f(x)] ∈ χ ⇒
f T (x ∗ )(Pr χ [x − f(x)] − x ∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ R n (5.18)
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